Table chi-carré

Qu'est-ce qu'une table du khi-deux ?

Une table du khi-deux affiche les valeurs critiques de la distribution du khi-deux. Cette distribution asymétrique, à queue droite, est utilisée dans les tests d'hypothèses impliquant des données catégorielles et l'analyse de variance.

La distribution du khi-deux apparaît lorsqu'on additionne des variables aléatoires normales standard élevées au carré. Avec k degrés de liberté :

$\chi^2_k = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2$

Quand utiliser les tests du khi-deux

La distribution du khi-deux est utilisée pour :

• Tests d'ajustement — Les données observées correspondent-elles à une distribution attendue ?
• Tests d'indépendance — Deux variables catégorielles sont-elles liées ?
• Tests d'homogénéité — Différentes populations ont-elles la même distribution ?
• Tests de variance — La variance d'une population est-elle égale à une valeur hypothétique ?

Comment lire la table du khi-deux

La table affiche les valeurs critiques pour la probabilité de la queue droite. Chaque ligne correspond à une valeur de degrés de liberté, et chaque colonne à un niveau de signification (aire à droite).

Pour trouver χ² pour un test d'ajustement avec 5 catégories à α = 0,05 :

1. Calculer ddl = k - 1 = 4
2. Trouver la ligne ddl = 4
3. Trouver la colonne α = 0,05
4. La valeur critique est χ² = 9,488

Rejeter H₀ si votre statistique de test dépasse cette valeur critique.

Degrés de liberté

Applications courantes

Test d'indépendance du khi-deux

Teste si deux variables catégorielles sont associées :

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

Où O = fréquence observée, E = fréquence attendue.

Exemple : Tester si la préférence de vote est indépendante du sexe en utilisant une table de contingence 2×3 :

• ddl = (2 - 1)(3 - 1) = 2
• À α = 0,05, χ² critique = 5,991

Test d'ajustement

Teste si les fréquences observées correspondent aux probabilités attendues :

Exemple : Les lancers d'un dé sont-ils équitables ? (6 catégories)

• ddl = 6 - 1 = 5
• À α = 0,05, χ² critique = 11,070

Intervalles de confiance pour la variance

Pour construire un IC pour la variance de population σ² :

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}$

Propriétés clés

• Toujours positive : les valeurs de χ² sont ≥ 0
• Asymétrique à droite : Surtout pour les petits ddl
• Se rapproche de la normale : Lorsque ddl → ∞, le khi-deux devient approximativement normal
• Moyenne = ddl : La valeur attendue égale les degrés de liberté
• Variance = 2×ddl : La variance est le double des degrés de liberté

Valeurs critiques courantes

Pour référence rapide à α = 0,05 :

Outils connexes

• Calculateur de test du khi-deux — Test d'indépendance
• Ajustement du khi-deux — Tester les distributions
• Calculateur de distribution du khi-deux — Trouver les probabilités
• Test exact de Fisher — Pour petits échantillons

Résumé

La table du khi-deux est essentielle pour analyser les données catégorielles et tester les hypothèses de variance. Contrairement aux distributions symétriques, le khi-deux est asymétrique à droite, la valeur critique représentant le point au-delà duquel seule la proportion α de la distribution se trouve. Comprendre comment lire correctement cette table—en faisant correspondre les degrés de liberté et le niveau de signification—est fondamental pour les tests d'ajustement, les tests d'indépendance et l'analyse de variance.