Geometrische-Verteilung-Rechner

Was ist die geometrische Verteilung?

Die geometrische Verteilung modelliert die Anzahl der Versuche, die benötigt werden, um den ersten Erfolg in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Versuche zu erzielen, wobei jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Sie beantwortet Fragen wie „Wie oft muss ich eine Münze werfen, bis ich Kopf bekomme?" oder „Wie viele Produkte muss ich prüfen, bis ich einen Defekt finde?"

Die geometrische Verteilung ist das diskrete Analogon zur Exponentialverteilung und teilt deren Gedächtnislosigkeitseigenschaft.

Zwei Konventionen

Es gibt zwei gängige Definitionen der geometrischen Verteilung:

Konvention 1: Anzahl der Versuche (k ≥ 1)

X = Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg (einschließlich des erfolgreichen Versuchs)

$P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \quad \text{für } k = 1, 2, 3, \ldots$

• Erwartungswert: $E[X] = \frac{1}{p}$
• Varianz: $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$

Konvention 2: Anzahl der Misserfolge (k ≥ 0)

Y = Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg

$P(Y = k) = (1-p)^k \cdot p \quad \text{für } k = 0, 1, 2, \ldots$

• Erwartungswert: $E[Y] = \frac{1-p}{p}$
• Varianz: $Var(Y) = \frac{1-p}{p^2}$

Hinweis: $Y = X - 1$, daher ist die Beziehung zwischen den Konventionen einfach.

Die Gedächtnislosigkeitseigenschaft

Wie die Exponentialverteilung ist die geometrische Verteilung gedächtnislos:

$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$

Wenn Sie bereits $m$ Mal gescheitert sind, ist die erwartete Anzahl zusätzlicher Versuche bis zum Erfolg dieselbe, als würden Sie von vorne beginnen. Vergangene Misserfolge beeinflussen den zukünftigen Erfolg nicht.

Wichtig: Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete Verteilung mit dieser Eigenschaft.

Praktische Anwendungen

Qualitätskontrolle

Wie viele Artikel müssen geprüft werden, um den ersten fehlerhaften zu finden? Wenn die Fehlerrate 2% beträgt ($p = 0{,}02$), müssten Sie im Durchschnitt $1/0{,}02 = 50$ Artikel prüfen.

Vertrieb und Marketing

Wie viele Anrufe bis zum ersten Verkauf? Wie viele E-Mails bis zu einer Antwort? Geometrische Modelle helfen, Erwartungen zu setzen und die Leistung zu messen.

Genetik

Wie viele Nachkommen, bis einer ein bestimmtes Merkmal erbt? Wenn die Vererbungswahrscheinlichkeit 0,25 beträgt, erwarten Sie im Durchschnitt etwa 4 Nachkommen.

Glücksspiele

Wie viele Lottoscheine bis zu einem Gewinn? Wie viele Drehungen bis zum Jackpot? (Obwohl echtes Glücksspiel komplexere Wahrscheinlichkeiten beinhaltet.)

Zuverlässigkeitstests

Wie viele Belastungstests bis zum Bauteilversagen? Die geometrische Verteilung gilt, wenn jeder Test eine unabhängige Ausfallwahrscheinlichkeit hat.

Kumulative Wahrscheinlichkeiten

Die Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeit des Erfolgs innerhalb von $k$ Versuchen) ist:

$P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$

Die Überlebensfunktion (Wahrscheinlichkeit keines Erfolgs in den ersten $k$ Versuchen) ist:

$P(X > k) = (1-p)^k$

Beispielrechnung

Aufgabe: Ein Basketballspieler trifft Freiwürfe mit 75% Genauigkeit. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seinen ersten Korb genau beim dritten Versuch erzielt?

Mit Konvention 1 (Versuche bis zum Erfolg):

• $p = 0{,}75$ (Erfolgswahrscheinlichkeit)
• $k = 3$ (erster Erfolg beim dritten Versuch)

$P(X = 3) = (1-0{,}75)^{3-1} \cdot 0{,}75 = (0{,}25)^2 \cdot 0{,}75 = 0{,}0469$

Etwa 4,7% Wahrscheinlichkeit, zweimal zu verfehlen und dann den dritten zu treffen.

Verbindung zu anderen Verteilungen

Negative Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung verallgemeinert die geometrische Verteilung, um die Versuche bis zu $r$ Erfolgen zu zählen (die geometrische Verteilung ist der Spezialfall $r = 1$).

Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung ist das zeitkontinuierliche Analogon. Wenn Ereignisse in kontinuierlicher Zeit mit Rate $\lambda$ auftreten, ist die Wartezeit exponentialverteilt. Wenn Ereignisse in diskreten Versuchen mit Wahrscheinlichkeit $p$ auftreten, ist die Anzahl der Warteversuche geometrisch verteilt.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung zählt Erfolge bei einer festen Anzahl von Versuchen, während die geometrische Verteilung die Versuche bis zum ersten Erfolg zählt.

Wann die geometrische Verteilung nicht gilt

• Nicht konstante Wahrscheinlichkeit: Wenn sich $p$ über die Versuche ändert
• Abhängige Versuche: Wenn Ergebnisse sich gegenseitig beeinflussen
• Mehrere Erfolgstypen: Wenn Erfolg nicht binär ist

Quantile und Perzentile

Das $q$-te Quantil (minimales $k$, sodass $P(X \leq k) \geq q$) ist:

$k = \left\lceil \frac{\ln(1-q)}{\ln(1-p)} \right\rceil$

Dies gibt an, wie viele Versuche nötig sind, um eine bestimmte Erfolgswahrscheinlichkeit zu garantieren.

Verwandte Berechnungen

• Binomialverteilungs-Wahrscheinlichkeitsrechner — Feste Versuche, Erfolge zählen
• Negative Binomialverteilungs-Rechner — Versuche bis zu $r$ Erfolgen
• Exponentialverteilungs-Rechner — Kontinuierliches Analogon
• Poisson-Wahrscheinlichkeitsrechner — Ereignisse in fester Zeit

Zusammenfassung

Die geometrische Verteilung ist das bevorzugte Modell zum Zählen unabhängiger Versuche bis zum ersten Erfolg. Ihre Gedächtnislosigkeitseigenschaft bedeutet, dass vergangene Misserfolge die zukünftige Erfolgswahrscheinlichkeit nicht beeinflussen – jeder Versuch ist ein Neuanfang. Ob bei der Analyse von Qualitätskontrolle, Vertriebsprozessen oder Glücksspielen, die geometrische Verteilung liefert einfache Formeln für erwartete Wartezeiten und Erfolgswahrscheinlichkeiten.