Negative-Binomialverteilung-Rechner

Verwenden Sie die negative Binomialverteilung, wenn Sie zählen möchten, wie viele Versuche nötig sind, um eine bestimmte Anzahl von Erfolgen zu erzielen, oder wenn Sie Zähldaten haben, die variabler sind als es die Poisson-Verteilung erlaubt. Sie wird häufig in der Biologie zur Modellierung von Artenabundanz, in der Versicherungsbranche für Schadenzählungen und in der Qualitätskontrolle für Fehleranalysen verwendet — überall dort, wo Zählungen mehr Variabilität aufweisen als erwartet.

Was ist die negative Binomialverteilung?

Die negative Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Versuche, die benötigt werden, um eine bestimmte Anzahl von Erfolgen zu erzielen, oder äquivalent dazu die Anzahl der Misserfolge vor dem Erreichen von r Erfolgen.

Auch verwendet für: Zähldaten mit Überdispersion (Varianz > Mittelwert), die die Poisson-Verteilung nicht handhaben kann.

Zwei Parametrisierungen

Typ 1: Versuche bis r Erfolge

Fragestellung: „Wie viele Versuche bis ich r Erfolge erreiche?"

$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}$

Wobei:

• X = Anzahl der Versuche (mindestens r)
• k = Gesamtanzahl der Versuche
• r = erforderliche Erfolge
• p = Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch

Typ 2: Misserfolge vor r Erfolgen

Fragestellung: „Wie viele Misserfolge vor r Erfolgen?"

$P(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^r (1-p)^k$

Wobei:

• X = Anzahl der Misserfolge (mindestens 0)
• k = Anzahl der Misserfolge
• r = erforderliche Erfolge
• p = Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch

Typ 3: Mittelwert-Dispersions-Form (überdispergierte Zählungen)

$P(X = k) = \binom{k+r-1}{k} \left(\frac{r}{r+\mu}\right)^r \left(\frac{\mu}{r+\mu}\right)^k$

Wobei:

• μ = Mittelwert
• r = Dispersionsparameter (kleineres r = mehr Überdispersion)

Beispiel: Versuche bis zum Erfolg

Szenario: Ein Basketballspieler hat eine Freiwurf-Erfolgsquote von 70 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 Würfe benötigt werden, um 3 Körbe zu erzielen?

Parameter:

• r = 3 (3 Erfolge benötigt)
• p = 0,70
• k = 5 (Gesamtwürfe)

$P(X = 5) = \binom{4}{2}(0,70)^3(0,30)^2$ $= 6 \times 0,343 \times 0,09 = 0,185$

Interpretation: 18,5 % Wahrscheinlichkeit, genau 5 Würfe zu benötigen.

Beispiel: Überdispergierte Zählungen

Szenario: Tägliche Notaufnahmebesuche. Mittelwert = 20, aber Varianz = 45 (deutlich größer als der Mittelwert).

Poisson nimmt an, dass Varianz = Mittelwert, daher ist sie ungeeignet.

Negative Binomialverteilung mit μ = 20 und r = 16 (aus Daten geschätzt): $\text{Varianz} = \mu + \frac{\mu^2}{r} = 20 + \frac{400}{16} = 45$ ✓

Mittelwert und Varianz

Für die Version „Misserfolge vor r Erfolgen"

$E[X] = \frac{r(1-p)}{p}$

$\text{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$

Für die Version „Überdispergierte Zählungen"

$E[X] = \mu$

$\text{Var}(X) = \mu + \frac{\mu^2}{r}$

Wichtige Erkenntnis: Die Varianz übersteigt immer den Mittelwert (Überdispersion).

Beziehung zu anderen Verteilungen

Spezialfall: Geometrische Verteilung

Negative Binomialverteilung mit r = 1 ist die geometrische Verteilung (Versuche bis zum ersten Erfolg).

Grenzfall: Poisson-Verteilung

Wenn r → ∞, nähert sich die negative Binomialverteilung der Poisson-Verteilung mit Parameter μ.

Mischungsinterpretation

Die negative Binomialverteilung kann als Poisson-Verteilung betrachtet werden, bei der der Ratenparameter selbst einer Gamma-Verteilung folgt (Poisson-Gamma-Mischung).

Erkennung von Überdispersion

Visuelle Prüfung

Vergleichen Sie das Histogramm der Zählungen mit der Poisson-Verteilung mit demselben Mittelwert.

Varianz-zu-Mittelwert-Verhältnis

$\text{Dispersion} = \frac{\text{Varianz}}{\text{Mittelwert}}$

• Verhältnis = 1: Poisson geeignet
• Verhältnis > 1: Überdispersion → negative Binomialverteilung in Betracht ziehen
• Verhältnis >> 1: Starke Überdispersion

Statistischer Test

In der Poisson-Regression testen, ob der Dispersionsparameter = 1 ist.

Wann die negative Binomialverteilung verwenden

Zählprozesse

• Anzahl der Misserfolge vor dem Erfolg
• Versuche bis zur Erreichung einer Quote
• Warten auf seltene Ereignisse

Überdispergierte Zähldaten

• Krankheitszählungen mit Clusterbildung
• Unfalldaten
• Versicherungsansprüche
• Ökologische Zählungen (Artenabundanz)
• Website-Aufrufe mit viralen Effekten

Wenn Poisson nicht passt

Wenn das Poisson-Modell Überdispersion zeigt, versuchen Sie die negative Binomialverteilung.

Negative Binomialregression

Modellierung von Zähldaten mit Kovariaten:

$\log(\mu_i) = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \cdots$

Mit negativer Binomialvarianz:

$\text{Var}(Y_i) = \mu_i + \frac{\mu_i^2}{r}$

Verwenden, wenn: Poisson-Regression Überdispersion zeigt (Devianz >> Freiheitsgrade).

Kumulative Wahrscheinlichkeiten

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$

Für praktische Berechnungen verwenden Sie Software oder statistische Tabellen.

Anwendungen

Qualitätskontrolle

Anzahl der Inspektionen bis zum Finden von r fehlerhaften Teilen.

Klinische Studien

Anzahl der gescreenten Patienten bis zum Finden von r geeigneten Probanden.

Epidemiologie

Krankheitszählungen, wenn Clusterbildung oder Heterogenität vorliegt.

Ökologie

Daten zur Artenabundanz (oft stark überdispergiert).

Versicherung

Schadenzählungen pro Versicherungsnehmer.

Softwareentwicklung

Fehlerzählungen in Codemodulen.

Beispiel: Krankenhaus-Wiedereinweisungen

Daten: 30-Tage-Wiedereinweisungszählungen für 500 Patienten

Die negative Binomialverteilung passt aufgrund der Überdispersion durch unbeobachtete Patientenheterogenität viel besser.

Schätzung der Parameter

Momentenmethode

$\hat{p} = \frac{\bar{X}}{\text{Var}(X)}$ $\hat{r} = \frac{\bar{X}^2}{\text{Var}(X) - \bar{X}}$

Maximum-Likelihood

Genauer; erfordert iterative Berechnung.

Konfidenzintervalle

Für geschätzte Wahrscheinlichkeiten verwenden Sie exakte Methoden für kleine Stichproben oder die Normalapproximation für große Stichproben.

Ergebnisse berichten

Für Regression:

„Die negative Binomialregression wurde aufgrund signifikanter Überdispersion im Poisson-Modell verwendet (Dispersion = 2,8). Die Krankenhaus-Wiedereinweisungszählungen waren signifikant mit dem Alter assoziiert (IRR = 1,03 pro Jahr, 95 % KI: 1,01–1,05, p = 0,003) und früheren Einweisungen (IRR = 1,45, 95 % KI: 1,22–1,72, p < 0,001)."

Für Wahrscheinlichkeitsberechnung:

„Unter einem negativen Binomialmodell mit r = 3 Erfolgen und p = 0,70 beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Versuche zu benötigen, 18,5 %."

Häufige Fehler

Poisson verwenden bei Überdispersion

Überprüfen Sie das Varianz-zu-Mittelwert-Verhältnis. Wenn > 1,5, ziehen Sie die negative Binomialverteilung in Betracht.

Parametrisierungen verwechseln

Seien Sie klar, ob Sie Versuche, Misserfolge zählen oder die Mittelwert-Dispersions-Form verwenden.

Null-Inflation ignorieren

Wenn es mehr Nullen gibt als die negative Binomialverteilung vorhersagt, ziehen Sie nullinflationierte Modelle in Betracht.

Falsche Varianzformel

Die Varianzformel unterscheidet sich je nach Parametrisierung — verwenden Sie die passende zu Ihrer Formulierung.

Vergleich mit Poisson

Historischer Kontext

Die negative Binomialverteilung wurde von Pascal im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit dem Warten auf Erfolge bei wiederholten Versuchen untersucht.

Ihre Anwendung auf überdispergierte Zähldaten entwickelte sich im 20. Jahrhundert, insbesondere durch die Arbeit von Greenwood und Yule (1920) in der Epidemiologie und Fisher in der Genetik.

Verwandte Berechnungen

• Binomialverteilungs-Wahrscheinlichkeitsrechner — Feste Anzahl von Versuchen
• Poisson-Wahrscheinlichkeitsrechner — Wenn Varianz ≈ Mittelwert
• Geometrische Verteilung — Spezialfall r = 1
• Chi-Quadrat-Anpassungstest — Anpassung testen

Zusammenfassung

Die negative Binomialverteilung modelliert entweder die Anzahl der Versuche bis r Erfolge oder überdispergierte Zähldaten, bei denen die Varianz den Mittelwert übersteigt. Sie ist flexibler als Poisson und berücksichtigt Clusterbildung und Heterogenität in Zähldaten. Wichtige Anwendungen umfassen Qualitätskontrolle (Warten auf r Fehler), Epidemiologie (Krankheitsclusterung) und alle Zähldaten, die die Poisson-Varianzannahme nicht erfüllen. Der Dispersionsparameter r steuert den Grad der Überdispersion — kleineres r bedeutet mehr Überdispersion. Verwenden Sie die negative Binomialregression, wenn die Poisson-Regression Überdispersion zeigt.