Inverse-Chi-Quadrat-Rechner
Finden Sie den Chi-Quadrat-Wert aus dem Perzentil.
Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen (exklusiv)
Wahrscheinlichkeit und Freiheitsgrade eingeben
Was ist der Inverse Chi-Quadrat-Rechner?
Die inverse Chi-Quadrat-Funktion findet den χ²-Wert, der einer gegebenen Wahrscheinlichkeit entspricht. Während der Chi-Quadrat-Verteilungsrechner P(χ² < x) berechnet, fragt diese Umkehrfunktion: "Welcher χ²-Wert hat diese Wahrscheinlichkeit unterhalb von sich?"
Eingabe: Wahrscheinlichkeit (kumulativ), Freiheitsgrade Ausgabe: Der χ²-Wert an diesem Perzentil
Häufige kritische Werte
Für rechtseitige Wahrscheinlichkeit α = 0,05 (kumulatives p = 0,95):
| df | χ²₀,₉₅ |
|---|---|
| 1 | 3,84 |
| 2 | 5,99 |
| 3 | 7,81 |
| 5 | 11,07 |
| 10 | 18,31 |
| 15 | 25,00 |
| 20 | 31,41 |
| 30 | 43,77 |
Für α = 0,01 (kumulatives p = 0,99):
| df | χ²₀,₉₉ |
|---|---|
| 1 | 6,63 |
| 5 | 15,09 |
| 10 | 23,21 |
| 20 | 37,57 |
Anwendungen
Hypothesentests
Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: "Bei α = 0,05 mit df = 4, wie lautet der kritische Wert?"
χ²₀,₉₅(4) = 9,49
H₀ ablehnen, wenn beobachtetes χ² > 9,49
Anpassungstest: "Test von 6 Kategorien bei α = 0,01, wie lautet das kritische χ²?"
df = 6 - 1 = 5 χ²₀,₉₉(5) = 15,09
Konfidenzintervall für die Varianz
Für eine normalverteilte Grundgesamtheit verwendet das KI für σ² Chi-Quadrat-Quantile:
Untere Grenze: (n-1)s² / χ²₁₋α/₂ Obere Grenze: (n-1)s² / χ²α/₂
Beispiel: n = 25, s² = 16, 95%-KI
df = 24 χ²₀,₉₇₅(24) = 39,36 χ²₀,₀₂₅(24) = 12,40
KI: (24×16/39,36, 24×16/12,40) = (9,76, 30,97)
Regelkarten für Variabilität
S-Karten (Standardabweichungskarten) und R-Karten (Spannweitenkarten) verwenden Chi-Quadrat-Quantile zur Festlegung von Kontrollgrenzen.
Oberes vs. unteres Ende
Oberes Perzentil (rechtes Ende): χ²₀,₉₅ = Wert mit 5% darüber
Verwendet für: Tests, bei denen große χ²-Werte Signifikanz anzeigen
Unteres Perzentil (linkes Ende): χ²₀,₀₅ = Wert mit 5% darunter
Verwendet für: Untere Grenze des Varianz-KI, Tests auf zu kleine Varianz
Eigenschaften der Chi-Quadrat-Verteilung
Mit steigendem df:
- Mittelwert = df
- Varianz = 2 × df
- Die Verteilung wird symmetrischer
- Nähert sich der Normalverteilung an: χ² ≈ N(df, √(2df)) für große df
| df | Form | χ²₀,₉₅ |
|---|---|---|
| 1 | Stark schief | 3,84 |
| 5 | Rechtsschief | 11,07 |
| 30 | Nahezu symmetrisch | 43,77 |
Historischer Kontext
Chi-Quadrat-Tabellen mit kritischen Werten waren vor der Computerzeit unverzichtbar.
Karl Pearson veröffentlichte um 1900 die ersten Chi-Quadrat-Tabellen.
Ronald Fisher erweiterte die Tabellen und verknüpfte sie mit den Freiheitsgraden.
Die unvollständige Gammafunktion liegt der Chi-Quadrat-Berechnung zugrunde, wodurch numerische Methoden für eine genaue Quantilberechnung unerlässlich sind.
Berechnungsmethoden
Die inverse Chi-Quadrat-Funktion hat keine geschlossene Form. Zu den Methoden gehören:
Newton-Raphson-Iteration: Löse CDF(x) - p = 0
Wilson-Hilferty-Approximation: Für große df: χ² ≈ df × [1 - 2/(9df) + z×√(2/(9df))]³
Diese Kubus-Transformation liefert eine gute Näherung für die Umkehrfunktion.
Bisektion mit CDF: Binärsuche unter Verwendung der Vorwärts-CDF-Berechnung
Zweiseitig vs. einseitig
Einseitig (die meisten Chi-Quadrat-Tests): Vergleiche beobachtetes χ² mit χ²₁₋α
Nur große χ²-Werte zeigen Signifikanz an.
Zweiseitig (Varianztests): Teste, ob die Varianz unterschiedlich ist (nicht nur größer oder kleiner):
- Unterer kritischer Wert: χ²α/₂
- Oberer kritischer Wert: χ²₁₋α/₂
Quantiltabellen
| Wahrscheinlichkeit | df=5 | df=10 | df=20 |
|---|---|---|---|
| 0,01 | 0,55 | 2,56 | 8,26 |
| 0,05 | 1,15 | 3,94 | 10,85 |
| 0,10 | 1,61 | 4,87 | 12,44 |
| 0,50 | 4,35 | 9,34 | 19,34 |
| 0,90 | 9,24 | 15,99 | 28,41 |
| 0,95 | 11,07 | 18,31 | 31,41 |
| 0,99 | 15,09 | 23,21 | 37,57 |
Beziehung zu anderen Verteilungen
Normalverteilung: Die Summe von k quadrierten Standardnormalverteilungen ist χ²(k)
Gammaverteilung: χ²(k) = Gamma(k/2, 2)
F-Verteilung: F = (χ₁²/df₁) / (χ₂²/df₂)
Exponentialverteilung: χ²(2) = Exponentialverteilung mit Rate 1/2
Auswahl der Freiheitsgrade
| Test | df |
|---|---|
| Anpassungstest | Kategorien - 1 - geschätzte Parameter |
| Unabhängigkeit (r×c) | (r-1)(c-1) |
| Varianztest | n - 1 |
| Homogenität | (Kategorien - 1) × (Gruppen - 1) |
Der Freiheitsgrade-Rechner hilft bei der Bestimmung von df.
Verwandte Berechnungen
- Chi-Quadrat-Verteilungsrechner — Vorwärtsberechnung
- Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest — Verwendet kritisches χ²
- Chi-Quadrat-Anpassungstest — Verwendet kritisches χ²
- Varianzrechner — Stichprobenvarianz
- Freiheitsgrade-Rechner — Berechne df
Zusammenfassung
Der inverse Chi-Quadrat-Rechner wandelt kumulative Wahrscheinlichkeiten in χ²-Werte für beliebige Freiheitsgrade um. Unverzichtbar für das Finden kritischer Werte in Chi-Quadrat-Tests, die Konstruktion von Konfidenzintervallen für die Varianz und das Festlegen von Regelkartengrenzen ergänzt die Umkehrfunktion die Vorwärts-CDF. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist immer rechtsschief (stärker bei kleinen df), daher verwenden die meisten Tests kritische Werte des oberen Endes, obwohl Varianzintervalle beide Enden erfordern.