Mann-Whitney-U-Tabelle

Kritische Werte für Mann-Whitney-Test.

Signifikanzniveau

n₁ finden

n₂ finden

Anleitung: Finden Sie Ihre Stichprobengrößen n₁ und n₂, um den kritischen U-Wert zu erhalten. H₀ ablehnen, wenn Ihr berechnetes U ≤ kritisches U. Für n₁ oder n₂ > 20 verwenden Sie stattdessen die Normalapproximation.

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
3	0	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8
4	0	0	1	2	3	4	4	5	6	7	8	9	10	11	11	12	13	14
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	17	18	19	20
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14	16	17	19	21	22	24	25	27
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22	24	26	29	31	34	36	38	41
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26	28	31	34	37	39	42	45	48
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29	33	36	39	42	45	48	52	55
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33	37	40	44	47	51	55	58	62
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37	41	45	49	53	57	61	65	69
13	4	8	12	16	20	24	28	33	37	41	45	50	54	59	63	67	72	76
14	5	9	13	17	22	26	31	36	40	45	50	55	59	64	69	74	78	83
15	5	10	14	19	24	29	34	39	44	49	54	59	64	70	75	80	85	90
16	6	11	15	21	26	31	37	42	47	53	59	64	70	75	81	86	92	98
17	6	11	17	22	28	34	39	45	51	57	63	69	75	81	87	93	99	105
18	7	12	18	24	30	36	42	48	55	61	67	74	80	86	93	99	106	112
19	7	13	19	25	32	38	45	52	58	65	72	78	85	92	99	106	113	119
20	8	14	20	27	34	41	48	55	62	69	76	83	90	98	105	112	119	127

U berechnen

1. Alle Beobachtungen gemeinsam rangieren

2. Ränge für jede Gruppe summieren (R₁, R₂)

3. U₁ und U₂ berechnen:

U₁ = n₁n₂ + n₁(n₁+1)/2 - R₁

U₂ = n₁n₂ - U₁

4. U = min(U₁, U₂) für den Test verwenden

Normalapproximation

Für größere Stichproben (n > 20):

μᵤ = n₁n₂/2

σᵤ = √[n₁n₂(n₁+n₂+1)/12]

z = (U - μᵤ)/σᵤ

|z| mit 1,96 (α=0,05) oder 2,576 (α=0,01) vergleichen

Mann-Whitney-U-Statistik

U = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1

Was ist eine Mann-Whitney-U-Tabelle?

Die Mann-Whitney-U-Tabelle liefert kritische Werte für den Mann-Whitney-U-Test (auch Wilcoxon-Rangsummentest genannt). Dieser nicht-parametrische Test vergleicht zwei unabhängige Gruppen, wenn die Voraussetzungen des t-Tests verletzt sind – insbesondere wenn die Daten ordinal oder nicht normalverteilt sind.

Wann wird der Mann-Whitney-U-Test verwendet?

Wählen Sie diesen Test, wenn:

Zwei unabhängige Gruppen verglichen werden
Die Daten ordinal oder stetig, aber nicht normalverteilt sind
Die Stichprobengrößen klein sind (n < 30)
Ausreißer vorhanden sind
Sie auf Unterschiede in der Verteilung oder dem Median testen möchten

Er ist die nicht-parametrische Alternative zum t-Test für unabhängige Stichproben.

Wie der Test funktioniert

Kombinieren Sie alle Beobachtungen aus beiden Gruppen
Ordnen Sie diese vom kleinsten (1) zum größten Rang
Summieren Sie die Ränge für jede Gruppe (R₁, R₂)
Berechnen Sie U mit:

$U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1$

$U_2 = n_1 n_2 - U_1$

$U = \min(U_1, U_2)$

Wie man die Tabelle liest

Sei n₁ = kleinere Stichprobengröße, n₂ = größere Stichprobengröße
Finden Sie den Schnittpunkt von n₁ (Zeile) und n₂ (Spalte)
Dies ergibt den kritischen U-Wert

Entscheidung: Wenn Ihr berechnetes U ≤ kritisches U, lehnen Sie H₀ ab.

Beispiel: Gruppe A (n₁ = 8), Gruppe B (n₂ = 12), α = 0,05 (zweiseitig):

Kritisches U = 22
Wenn berechnetes U = 18, lehnen Sie H₀ ab (Gruppen unterscheiden sich)

Durchgerechnetes Beispiel

Daten:

Gruppe A: 12, 15, 18, 20 (n₁ = 4)
Gruppe B: 22, 25, 28, 30, 35 (n₂ = 5)

Schritte:

Kombinierte Ränge: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ränge der Gruppe A: 1, 2, 3, 4 → R₁ = 10
Ränge der Gruppe B: 5, 6, 7, 8, 9 → R₂ = 35
Berechnung von U:
- U₁ = (4)(5) + 4(5)/2 - 10 = 20 + 10 - 10 = 20
- U₂ = (4)(5) - 20 = 0
- U = min(20, 0) = 0
Aus der Tabelle bei α = 0,05: Kritisches U = 1
Da 0 ≤ 1, wird H₀ abgelehnt

Umgang mit Bindungen

Wenn Beobachtungen den gleichen Wert haben:

Weisen Sie ihnen den Durchschnitt der Ränge zu, die sie belegen würden
Fahren Sie mit der Rangvergabe für nachfolgende Werte normal fort
Erwägen Sie eine Bindungskorrektur für die Normalapproximation

Normalapproximation (große Stichproben)

Für n₁ oder n₂ > 20 verwenden Sie:

$\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2}$

$\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}}$

$z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U}$

Vergleichen Sie z mit den kritischen Werten der Standardnormalverteilung (±1,96 für α = 0,05, zweiseitig).

Interpretation

Der Mann-Whitney-U-Test beantwortet: „Wenn ich zufällig eine Beobachtung aus jeder Gruppe auswähle, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Beobachtung aus Gruppe 1 größer ist als die aus Gruppe 2?"

Die Beziehung lautet:

$P(\text{Gruppe 1} > \text{Gruppe 2}) = \frac{U}{n_1 n_2}$

Effektgröße

Die rang-biseriale Korrelation misst die Effektgröße:

$r = 1 - \frac{2U}{n_1 n_2}$

r-Wert	Interpretation
0,1	Kleiner Effekt
0,3	Mittlerer Effekt
0,5	Großer Effekt

Vergleich mit dem t-Test

Aspekt	t-Test	Mann-Whitney U
Datentyp	Intervall/Verhältnis	Ordinal oder höher
Verteilung	Normal	Beliebig
Testet auf	Mittelwertdifferenz	Verteilungsverschiebung
Teststärke	Höher bei Normalverteilung	Robust gegen Verletzungen

Zusammenfassung

Die Mann-Whitney-U-Tabelle ermöglicht Hypothesentests für zwei unabhängige Gruppen, ohne Normalverteilung vorauszusetzen. Durch den Vergleich Ihrer berechneten U-Statistik mit dem kritischen Wert können Sie feststellen, ob zwei Gruppen aus unterschiedlichen Verteilungen stammen. Bei größeren Stichproben macht die Normalapproximation Tabellen überflüssig, aber bei kleinen Stichproben (n ≤ 20) gewährleisten die exakten kritischen Werte aus dieser Tabelle eine genaue Kontrolle des Fehlers 1. Art.