Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tabelle

Kritische Werte für Wilcoxon-Test.

Testtyp

n finden (Paare)

α finden

Anwendung: Den kritischen W-Wert am Schnittpunkt von n (Anzahl der Paare) und α (Signifikanzniveau) finden. Wenn Ihr berechnetes W ≤ kritisches W, H₀ ablehnen. Für n > 50 Normalapproximation verwenden.

n	α = 0.05	α = 0.025	α = 0.01	α = 0.005
5	-	-	-	-
6	1	-	-	-
7	2	0	-	-
8	4	2	0	-
9	6	4	2	0
10	8	6	3	1
11	11	8	5	3
12	14	10	7	5
13	17	13	10	7
14	21	16	13	10
15	25	20	16	13
16	30	24	19	16
17	35	28	23	19
18	40	33	28	23
19	46	38	32	28
20	52	43	37	32
21	59	49	43	37
22	66	56	49	42
23	73	62	55	48
24	81	69	61	54
25	90	77	68	61
26	98	85	76	68
27	107	93	84	76
28	117	102	92	84
29	127	111	100	92
30	137	120	109	100
35	195	173	160	147
40	264	238	221	204
45	343	312	291	271
50	434	397	373	349

W-Statistik berechnen

1. Differenzen berechnen (nachher - vorher)

2. Null-Differenzen ignorieren

3. Absolutdifferenzen rangieren

4. Ursprüngliche Vorzeichen den Rängen zuweisen

5. Positive Ränge (W⁺) und negative Ränge (W⁻) summieren

6. W = min(W⁺, W⁻)

Normalapproximation (n > 25)

Für größere Stichproben verwenden:

μᵥᵥ = n(n+1)/4

σᵥᵥ = √[n(n+1)(2n+1)/24]

z = (W - μᵥᵥ)/σᵥᵥ

z mit kritischen z-Werten vergleichen

Wilcoxon W-Statistik

W = \min(W^+, W^-) = \min\left(\sum_{d_i > 0} R_i, \sum_{d_i < 0} R_i\right)

Was ist eine Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tabelle?

Die Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tabelle liefert kritische Werte für den Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test. Dieser nicht-parametrische Test vergleicht gepaarte Beobachtungen – wie Vorher/Nachher-Messungen oder verbundene Stichproben – ohne eine Normalverteilung vorauszusetzen.

Er ist die nicht-parametrische Alternative zum gepaarten t-Test.

Wann dieser Test verwendet wird

Wählen Sie den Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test, wenn:

Sie gepaarte oder verbundene Daten haben
Die Differenzen ordinal oder nicht normalverteilt sind
Ausreißer vorhanden sind
Die Stichprobengröße klein ist (n < 30)
Sie testen möchten, ob die Mediandifferenz gleich null ist

Wie der Test funktioniert

Berechnen Sie die Differenz für jedes Paar: d_i = X₂ - X₁
Schließen Sie alle Paare mit d = 0 aus (Bindungen mit null)
Rangieren Sie die absoluten Differenzen (1 = kleinste)
Weisen Sie Vorzeichen den Rängen basierend auf dem Vorzeichen jeder Differenz zu
Summieren Sie die positiven Ränge (W⁺) und negativen Ränge (W⁻)
Teststatistik: W = min(W⁺, W⁻)

Wie die Tabelle gelesen wird

Bestimmen Sie n (Anzahl der Paare nach Ausschluss der Nullen)
Wählen Sie Ihr α-Niveau und den Testtyp (einseitig oder zweiseitig)
Finden Sie den kritischen W-Wert

Entscheidung: Wenn Ihr berechnetes W ≤ kritisches W, verwerfen Sie H₀.

Beispiel: 15 Paare, α = 0,05 (zweiseitig):

Kritisches W = 25
Wenn berechnetes W = 18, verwerfen Sie H₀ (signifikanter Unterschied)

Durchgerechnetes Beispiel

Daten (Vorher vs. Nachher Behandlung):

| Paar | Vorher | Nachher | Diff | |Diff| | Rang | Vorzeichenrang | |------|--------|---------|------|--------|------|----------------| | 1 | 85 | 82 | -3 | 3 | 2 | -2 | | 2 | 90 | 91 | +1 | 1 | 1 | +1 | | 3 | 78 | 72 | -6 | 6 | 4 | -4 | | 4 | 92 | 88 | -4 | 4 | 3 | -3 | | 5 | 75 | 68 | -7 | 7 | 5 | -5 |

Berechnung:

W⁺ = 1 (Summe der positiven Ränge)
W⁻ = 2 + 4 + 3 + 5 = 14 (Summe der negativen Ränge)
W = min(1, 14) = 1

Aus der Tabelle (n = 5, α = 0,05, zweiseitig): Kritisches W = 1

Da W = 1 ≤ 1, verwerfen wir H₀ an der Grenze

Umgang mit Bindungen

Bindungen zwischen Differenzen (gleiche |d|-Werte):

Weisen Sie gebundenen Werten den Durchschnittsrang zu
Setzen Sie die Rangierung nachfolgender Werte normal fort

Bindungen mit null (d = 0):

Schließen Sie diese Paare aus der Analyse aus
Reduzieren Sie n entsprechend

Normalapproximation (n > 25)

Für größere Stichproben verwenden Sie:

$\mu_W = \frac{n(n+1)}{4}$

$\sigma_W = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}$

$z = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W}$

Vergleichen Sie z mit den kritischen Werten der Standardnormalverteilung.

Effektstärke

Die Rangbiseriale Korrelation für verbundene Stichproben:

$r = \frac{|W^+ - W^-|}{W^+ + W^-}$

Oder mit z:

$r = \frac{z}{\sqrt{n}}$

r-Wert	Interpretation
0,1	Kleiner Effekt
0,3	Mittlerer Effekt
0,5	Großer Effekt

Vergleich mit dem gepaarten t-Test

Aspekt	Gepaarter t-Test	Wilcoxon-Vorzeichen-Rang
Datentyp	Intervall/Verhältnis	Ordinal oder höher
Verteilung	Normale Differenzen	Beliebig symmetrisch
Testet auf	Mittelwertdifferenz	Mediandifferenz
Teststärke	Höher bei Normalität	Robust bei Verletzungen

Annahmen

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test setzt voraus:

Gepaarte Beobachtungen, die abhängig sind
Zufällige Stichprobenziehung aus der Population
Mindestens ordinales Messniveau
Symmetrische Verteilung der Differenzen um den Median

Wenn die Symmetrieannahme verletzt ist, erwägen Sie den Vorzeichentest (weniger teststark, aber robuster).

Einseitig vs. Zweiseitig

Zweiseitig: Testet H₀: Mediandifferenz = 0 vs. H₁: Mediandifferenz ≠ 0
Einseitig: Testet in eine bestimmte Richtung (Mediandifferenz > 0 oder < 0)

Verwenden Sie die entsprechende Spalte in der Tabelle für Ihre Hypothese.

Zusammenfassung

Die Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tabelle ermöglicht Hypothesentests für gepaarte Daten ohne Normalverteilungsannahme. Durch Vergleich Ihrer berechneten W-Statistik (die kleinere der positiven und negativen Rangsummen) mit dem kritischen Wert können Sie feststellen, ob gepaarte Beobachtungen einen systematischen Unterschied aufweisen. Dieser Test bewahrt mehr Informationen als der Vorzeichentest, indem er die Größe der Differenzen berücksichtigt, was ihn zu einer leistungsstarken nicht-parametrischen Alternative zum gepaarten t-Test macht.

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tabelle

W-Statistik berechnen

Normalapproximation (n > 25)

Was ist eine Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tabelle?

Wann dieser Test verwendet wird

Wie der Test funktioniert

Wie die Tabelle gelesen wird

Durchgerechnetes Beispiel

Umgang mit Bindungen

Normalapproximation (n > 25)

Effektstärke

Vergleich mit dem gepaarten t-Test

Annahmen

Einseitig vs. Zweiseitig

Verwandte Werkzeuge

Zusammenfassung

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Z-Tabelle (Standardnormalverteilung)

t-Tabelle (Students t)

Chi-Quadrat-Tabelle

F-Tabelle

n	α = 0.05	α = 0.025	α = 0.01	α = 0.005
5	-	-	-	-
6	1	-	-	-
7	2	0	-	-
8	4	2	0	-
9	6	4	2	0
10	8	6	3	1
11	11	8	5	3
12	14	10	7	5
13	17	13	10	7
14	21	16	13	10
15	25	20	16	13
16	30	24	19	16
17	35	28	23	19
18	40	33	28	23
19	46	38	32	28
20	52	43	37	32
21	59	49	43	37
22	66	56	49	42
23	73	62	55	48
24	81	69	61	54
25	90	77	68	61
26	98	85	76	68
27	107	93	84	76
28	117	102	92	84
29	127	111	100	92
30	137	120	109	100
35	195	173	160	147
40	264	238	221	204
45	343	312	291	271
50	434	397	373	349

n	α = 0.05	α = 0.025	α = 0.01	α = 0.005
5	-	-	-	-
6	1	-	-	-
7	2	0	-	-
8	4	2	0	-
9	6	4	2	0
10	8	6	3	1
11	11	8	5	3
12	14	10	7	5
13	17	13	10	7
14	21	16	13	10
15	25	20	16	13
16	30	24	19	16
17	35	28	23	19
18	40	33	28	23
19	46	38	32	28
20	52	43	37	32
21	59	49	43	37
22	66	56	49	42
23	73	62	55	48
24	81	69	61	54
25	90	77	68	61
26	98	85	76	68
27	107	93	84	76
28	117	102	92	84
29	127	111	100	92
30	137	120	109	100
35	195	173	160	147
40	264	238	221	204
45	343	312	291	271
50	434	397	373	349

n	α = 0.05	α = 0.025	α = 0.01	α = 0.005
5	-	-	-	-
6	1	-	-	-
7	2	0	-	-
8	4	2	0	-
9	6	4	2	0
10	8	6	3	1
11	11	8	5	3
12	14	10	7	5
13	17	13	10	7
14	21	16	13	10
15	25	20	16	13
16	30	24	19	16
17	35	28	23	19
18	40	33	28	23
19	46	38	32	28
20	52	43	37	32
21	59	49	43	37
22	66	56	49	42
23	73	62	55	48
24	81	69	61	54
25	90	77	68	61
26	98	85	76	68
27	107	93	84	76
28	117	102	92	84
29	127	111	100	92
30	137	120	109	100
35	195	173	160	147
40	264	238	221	204
45	343	312	291	271
50	434	397	373	349