Calculadora de prueba binomial

¿Qué es una prueba binomial?

La prueba binomial determina si una proporción observada difiere de una proporción esperada cuando los resultados son binarios (éxito/fracaso). Proporciona probabilidades exactas sin depender de la aproximación normal.

Pregunta respondida: "¿Es la tasa de éxito diferente de lo que esperábamos?"

Ejemplos:

• "¿Es esta moneda justa?" (50% de caras esperado)
• "¿Nuestra tasa de conversión está por encima del 5%?"
• "¿Respondieron más pacientes al tratamiento de lo esperado por azar?"

¿Por qué "exacta"?

La prueba z para proporciones aproxima la binomial con una distribución normal. Esta aproximación puede ser pobre cuando:

• El tamaño de muestra es pequeño (n < 30)
• La proporción es extrema (cerca de 0 o 1)
• Se requieren valores p exactos

La prueba binomial: Calcula probabilidades exactas directamente de la distribución binomial.

La distribución binomial

Para n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Donde C(n,k) = n! / [k!(n-k)!]

Esto da la probabilidad de exactamente k éxitos.

Cómo funciona la prueba

Prueba de dos colas

H₀: p = p₀ H₁: p ≠ p₀

Valor p = P(X ≤ observado o X ≥ extremo simétrico | p = p₀)

Suma las probabilidades de resultados tan extremos o más extremos que el observado, en ambas colas.

Pruebas de una cola

Cola derecha (H₁: p > p₀): Valor p = P(X ≥ observado | p = p₀)

Cola izquierda (H₁: p < p₀): Valor p = P(X ≤ observado | p = p₀)

Ejemplo: probando una moneda

Escenario: 60 caras en 100 lanzamientos. ¿Es la moneda justa?

Configuración:

• n = 100
• x = 60 (caras observadas)
• p₀ = 0,5 (esperado para moneda justa)

Valor p de dos colas: P(X ≤ 40 o X ≥ 60 | p = 0,5)

Usando la distribución binomial: valor p = 0,057

Conclusión: Marginalmente no significativo a α = 0,05. El 60% de caras observado no es evidencia suficientemente fuerte contra una moneda justa.

Ejemplo: muestra pequeña

Escenario: 8 éxitos en 10 ensayos. ¿Es la tasa de éxito superior al 50%?

Prueba de cola derecha: P(X ≥ 8 | n = 10, p = 0,5) = P(8) + P(9) + P(10) = 0,044 + 0,010 + 0,001 = 0,055

Conclusión: Evidencia límite para tasa de éxito > 50%.

Con aproximación z, este resultado sería menos preciso debido al n pequeño.

Comparación con la prueba Z

Guía: Usa binomial cuando np₀ < 10 o n(1-p₀) < 10.

Intervalos de confianza

La prueba binomial puede proporcionar intervalos de confianza exactos para p:

Intervalo de Clopper-Pearson: Exacto, conservador.

Estos intervalos son a menudo asimétricos, reflejando la verdadera incertidumbre para proporciones cerca de 0 o 1.

Aplicaciones

Control de calidad

¿Está la tasa de defectos en o por debajo de la especificación?

n = 50 artículos, 4 defectuosos ¿Es la tasa de defectos > 5%?

Diagnóstico médico

¿Es la sensibilidad de una prueba diagnóstica diferente de lo afirmado?

n = 30 casos positivos, 27 correctamente identificados ¿Es la sensibilidad diferente del 95%?

Pruebas A/B (pequeña escala)

Con tráfico limitado, las pruebas exactas son más confiables.

n = 25 visitantes, 5 convirtieron ¿Es la tasa > 10%?

Genética

Probando proporciones de herencia mendeliana.

Observado 45 dominante : 15 recesivo Proporción esperada 3:1 (p = 0,75)

Psicología

La prueba de signos para comparaciones pareadas se reduce a binomial.

12 de 15 participantes mejoraron ¿Es la mejora más allá del azar (p = 0,5)?

Analítica deportiva

¿Es la tasa de éxito de un jugador diferente del promedio de la liga?

Jugador: 28 hits en 90 turnos al bate Promedio de la liga: 0,275

Prueba de signos

La prueba de signos es una prueba binomial sobre los signos de las diferencias:

Datos: Observaciones pareadas (antes, después)

Cuenta cuántas diferencias son positivas vs. negativas, ignorando empates.

Prueba: ¿Es P(positivo) = 0,5?

Si el tratamiento no tiene efecto, las diferencias positivas y negativas son igualmente probables.

Corrección Mid-P

La prueba binomial estándar puede ser conservadora (p exacto raramente iguala exactamente 0,05).

Valor Mid-P: Cuenta la mitad de la probabilidad del resultado observado.

P_mid = P(más extremo) + 0,5 × P(exactamente observado)

Menos conservador, recomendado por algunos estadísticos.

Una muestra vs. dos muestras

Binomial de una muestra: Compara proporción con valor conocido (esta calculadora).

Comparación de dos muestras: Compara proporciones entre grupos.

• Usa chi-cuadrado o prueba z para muestras grandes
• Usa Prueba exacta de Fisher para muestras pequeñas

Relación con otras pruebas

Chi-cuadrado de bondad de ajuste

Para dos categorías, chi-cuadrado y prueba binomial abordan la misma pregunta.

La binomial es exacta; chi-cuadrado es aproximada.

Prueba de signos

La prueba de signos es una prueba binomial sobre datos pareados.

Prueba de McNemar

Para resultados binarios pareados, la prueba de McNemar está relacionada con la binomial.

Supuestos

Ensayos independientes

El resultado de cada ensayo es independiente de los demás.

Violado si: los resultados están agrupados, el mismo sujeto se mide repetidamente sin diseño adecuado.

Probabilidad constante

La probabilidad de éxito p es la misma para todos los ensayos.

Violado si: las condiciones cambian con el tiempo, población heterogénea.

Resultados binarios

Cada ensayo tiene exactamente dos resultados: éxito o fracaso.

Si hay más de dos resultados, usa pruebas multinomiales o chi-cuadrado.

Errores comunes

Usar prueba Z para n pequeño

La aproximación normal es pobre cuando np < 10. Usa binomial exacta.

Una cola sin justificación

Pre-especifica la dirección basándote en teoría, no después de ver los datos.

Ignorar dependencia

Los datos agrupados violan la independencia. Ajusta o usa métodos diferentes.

Malinterpretar el valor p

P = 0,06 no significa 6% de probabilidad de que H₀ sea verdadera. Es P(datos | H₀ verdadera).

Reportando resultados

Formato APA (prueba exacta):

"Una prueba binomial exacta indicó que la tasa de éxito observada (80%, 8 de 10) no fue significativamente diferente del 50%, p = ,109, dos colas."

Para resultado significativo:

"Una prueba binomial exacta reveló que la tasa de conversión (15%, 15 de 100) excedió significativamente la tasa base del 10%, p = ,046, una cola, IC 95% [8,6%; 23,5%]."

Potencia y tamaño de muestra

Para planificación:

La probabilidad de detectar un efecto verdadero depende de:

• Proporción verdadera (p₁)
• Proporción nula (p₀)
• Tamaño de muestra (n)
• Nivel de significancia (α)

Usa la calculadora de tamaño de muestra para proporciones para planificación.

Contexto histórico

La distribución binomial fue desarrollada por Jacob Bernoulli a finales del siglo XVII, publicada póstumamente en 1713.

La prueba binomial exacta se volvió práctica con el poder de cómputo a mediados del siglo XX. Antes de las computadoras, la aproximación normal era necesaria para los cálculos.

Hoy, las pruebas exactas se prefieren cuando es factible, con aproximaciones usadas para muestras muy grandes donde el cálculo exacto es lento.

Cálculos relacionados

• Prueba Z de una proporción — Aproximación para muestra grande
• Calculadora de probabilidad binomial — Probabilidad única
• Calculadora binomial acumulada — Probabilidades acumuladas
• Intervalo de confianza para proporción — Estimación de intervalo
• Prueba exacta de Fisher — Prueba exacta de dos muestras

Resumen

La prueba binomial determina si una proporción observada difiere de un valor esperado calculando probabilidades exactas de la distribución binomial. A diferencia de la aproximación de prueba z, es válida para cualquier tamaño de muestra y cualquier proporción. La prueba suma probabilidades de resultados tan extremos o más extremos que el observado. Usa la prueba binomial cuando las muestras son pequeñas, las proporciones son extremas, o se requieren valores p exactos. Reporta la proporción observada, el tamaño de muestra, el valor hipotético, el valor p exacto y el intervalo de confianza.