Calculadora de distribución chi-cuadrado

¿Qué es la distribución chi-cuadrado?

La distribución chi-cuadrado (χ²) surge cuando sumas variables normales estándar al cuadrado. Es fundamental para pruebas de independencia, bondad de ajuste y comparaciones de varianzas.

Parámetro clave: Grados de libertad (gl)

Propiedades:

• Siempre no negativa (suma de cuadrados)
• Sesgada a la derecha (más para gl pequeños)
• Media = gl
• Varianza = 2 × gl

De estadístico χ² a valor p

Esta calculadora convierte un estadístico chi-cuadrado a un valor p:

Ejemplo: χ² = 12,5, gl = 5 Valor p = P(χ² > 12,5) = 0,029

Como esto es menor que 0,05, el resultado es estadísticamente significativo.

Aplicaciones

Prueba chi-cuadrado de independencia

"¿Hay una asociación entre dos variables categóricas?"

χ² mide la discrepancia entre frecuencias observadas y esperadas. gl = (filas - 1) × (columnas - 1) = 1

Chi-cuadrado de bondad de ajuste

"¿Los datos observados coinciden con las proporciones esperadas?"

Ejemplo: Probar si un dado es justo. gl = categorías - 1 = 5

Prueba de varianza

"¿Es la varianza poblacional igual a un valor hipotético?"

$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}, \quad gl = n - 1$

Intervalo de confianza para varianza

La distribución chi-cuadrado proporciona valores críticos para intervalos de confianza de varianza.

Forma de la distribución

La distribución chi-cuadrado cambia con gl:

A medida que gl aumenta, la distribución se vuelve más simétrica y se aproxima a la normal.

Valores críticos

Para α = 0,05 (probabilidad de cola derecha):

La Calculadora inversa de chi-cuadrado encuentra valores críticos para cualquier gl y probabilidad.

Desarrollo histórico

La distribución chi-cuadrado emergió del trabajo de varios estadísticos:

Friedrich Helmert (1876) derivó primero la distribución de la suma de variables normales al cuadrado en el contexto de errores de medición.

Karl Pearson (1900) desarrolló la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste, una de las primeras pruebas estadísticas formales. Su prueba para tablas de contingencia revolucionó el análisis de datos categóricos.

Ronald Fisher extendió la teoría, clarificando los grados de libertad y desarrollando pruebas relacionadas.

El nombre "chi-cuadrado" proviene de la letra griega χ (chi), usada por Pearson en su notación.

Definición matemática

Si $Z_1, Z_2, \ldots, Z_k$ son variables normales estándar independientes:

$\chi^2(k) = Z_1^2 + Z_2^2 + \ldots + Z_k^2$

La suma de k normales estándar al cuadrado sigue $\chi^2(k)$.

Esto explica por qué χ² es siempre no negativa y sesgada a la derecha.

Relación con otras distribuciones

Normal: Suma de normales estándar al cuadrado → χ²

Distribución T: T² ~ F(1, gl), y T = Z/√(χ²/gl)

Distribución F: F = (χ₁²/gl₁) / (χ₂²/gl₂)

Gamma: χ²(k) = Gamma(k/2, 2)

Exponencial: χ²(2) es exponencial con media 2

Chi-cuadrado y varianza muestral

Para una muestra de una distribución normal:

$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

Esta relación subyace:

• Intervalos de confianza para varianza
• Pruebas comparando varianza con un valor hipotético
• Pruebas F comparando dos varianzas

Grados de libertad en la práctica

Bondad de ajuste: gl = categorías - 1 - parámetros estimados

Prueba de independencia: gl = (filas - 1) × (columnas - 1)

Prueba de varianza: gl = n - 1

La Calculadora de grados de libertad ayuda a determinar gl para varias pruebas.

Supuestos para pruebas chi-cuadrado

Para tablas de contingencia:

• Frecuencias esperadas en celdas ≥ 5 (regla tradicional)
• Observaciones independientes
• Muestreo aleatorio

Cuando las frecuencias esperadas son pequeñas:

• Usa la prueba exacta de Fisher (tablas 2×2)
• Combina categorías si es posible
• Usa pruebas multinomiales exactas

Para pruebas de varianza:

• Datos de distribución normal
• Muestreo aleatorio

Las pruebas chi-cuadrado para varianza son sensibles a la no normalidad.

Calculando valores p

La CDF chi-cuadrado no tiene forma cerrada—se calcula mediante:

• Función gamma incompleta
• Integración numérica
• Aproximaciones por series

Para gl grande, la aproximación normal funciona: χ² ≈ Normal(gl, √(2×gl))

Una cola vs. dos colas

Las pruebas chi-cuadrado son típicamente de una cola (cola derecha):

• El estadístico de prueba mide la desviación de lo esperado
• Solo valores grandes de χ² indican desviación significativa

Para pruebas de varianza, las pruebas de dos colas usan ambas colas:

• Cola inferior: ¿varianza demasiado pequeña?
• Cola superior: ¿varianza demasiado grande?

Cálculos relacionados

• Calculadora inversa de chi-cuadrado — Encontrar valores críticos de χ²
• Prueba chi-cuadrado de independencia — Prueba de asociación
• Chi-cuadrado de bondad de ajuste — Probar observado vs. esperado
• Calculadora de grados de libertad — Calcular gl
• Calculadora de varianza — Varianza muestral

Resumen

La distribución chi-cuadrado—la suma de variables normales estándar al cuadrado—es fundamental para el análisis de datos categóricos y la inferencia de varianza. Las pruebas de independencia, bondad de ajuste e hipótesis de varianza todas dependen de valores p chi-cuadrado. La distribución está parametrizada por grados de libertad, que determinan su forma desde altamente sesgada (gl pequeños) hasta casi normal (gl grandes). Comprender la distribución chi-cuadrado permite la interpretación correcta de análisis de tablas de contingencia y pruebas de varianza en muchos campos.