Calculadora chi-cuadrado inversa
Encuentra el valor chi-cuadrado a partir del percentil.
La probabilidad debe estar entre 0 y 1 (exclusivo)
Ingrese la probabilidad y los grados de libertad
¿Qué es la calculadora inversa de chi-cuadrado?
La función inversa de chi-cuadrado encuentra el valor χ² correspondiente a una probabilidad dada. Mientras la Calculadora de distribución chi-cuadrado encuentra P(χ² < x), esta inversa pregunta "¿Qué valor χ² tiene esta probabilidad debajo de él?"
Dado: Probabilidad (acumulativa), grados de libertad Retorna: El valor χ² en ese percentil
Valores críticos comunes
Para probabilidad de cola derecha α = 0,05 (p acumulativo = 0,95):
| gl | χ²₀,₉₅ |
|---|---|
| 1 | 3,84 |
| 2 | 5,99 |
| 3 | 7,81 |
| 5 | 11,07 |
| 10 | 18,31 |
| 15 | 25,00 |
| 20 | 31,41 |
| 30 | 43,77 |
Para α = 0,01 (p acumulativo = 0,99):
| gl | χ²₀,₉₉ |
|---|---|
| 1 | 6,63 |
| 5 | 15,09 |
| 10 | 23,21 |
| 20 | 37,57 |
Aplicaciones
Prueba de hipótesis
Prueba chi-cuadrado de independencia: "A α = 0,05 con gl = 4, ¿cuál es el valor crítico?"
χ²₀,₉₅(4) = 9,49
Rechaza H₀ si χ² observado > 9,49
Prueba de bondad de ajuste: "Probando 6 categorías a α = 0,01, ¿cuál es el χ² crítico?"
gl = 6 - 1 = 5 χ²₀,₉₉(5) = 15,09
Intervalo de confianza para varianza
Para una población normal, el IC para σ² usa cuantiles chi-cuadrado:
Inferior: (n-1)s² / χ²₁₋α/₂ Superior: (n-1)s² / χ²α/₂
Ejemplo: n = 25, s² = 16, IC 95%
gl = 24 χ²₀,₉₇₅(24) = 39,36 χ²₀,₀₂₅(24) = 12,40
IC: (24×16/39,36, 24×16/12,40) = (9,76, 30,97)
Gráficos de control para variabilidad
Los gráficos S (gráficos de desviación estándar) y gráficos R (gráficos de rango) usan cuantiles chi-cuadrado para establecer límites de control.
Cola superior vs. inferior
Percentil superior (cola derecha): χ²₀,₉₅ = valor con 5% arriba
Usado para: Pruebas donde χ² grande indica significancia
Percentil inferior (cola izquierda): χ²₀,₀₅ = valor con 5% debajo
Usado para: Límite inferior de IC de varianza, pruebas de varianza demasiado pequeña
Propiedades de la distribución chi-cuadrado
A medida que gl aumenta:
- Media = gl
- Varianza = 2 × gl
- La distribución se vuelve más simétrica
- Se aproxima a la normal: χ² ≈ N(gl, √(2gl)) para gl grande
| gl | Forma | χ²₀,₉₅ |
|---|---|---|
| 1 | Muy sesgada | 3,84 |
| 5 | Sesgada a la derecha | 11,07 |
| 30 | Casi simétrica | 43,77 |
Contexto histórico
Las tablas de valores críticos chi-cuadrado eran esenciales antes de las computadoras.
Karl Pearson publicó las primeras tablas chi-cuadrado alrededor de 1900.
Ronald Fisher expandió las tablas y las conectó con los grados de libertad.
La función gamma incompleta subyace al cálculo chi-cuadrado, haciendo que los métodos numéricos sean esenciales para el cálculo preciso de cuantiles.
Métodos computacionales
La chi-cuadrado inversa no tiene forma cerrada. Los métodos incluyen:
Iteración de Newton-Raphson: Resolver CDF(x) - p = 0
Aproximación de Wilson-Hilferty: Para gl grande: χ² ≈ gl × [1 - 2/(9gl) + z×√(2/(9gl))]³
Esta transformación cúbica da una buena aproximación a la inversa.
Bisección con CDF: Búsqueda binaria usando cálculo de CDF directo
Bilateral vs. unilateral
Unilateral (la mayoría de pruebas chi-cuadrado): Compara χ² observado con χ²₁₋α
Solo valores χ² grandes indican significancia.
Bilateral (pruebas de varianza): Prueba si la varianza es diferente (no solo mayor o menor):
- Valor crítico inferior: χ²α/₂
- Valor crítico superior: χ²₁₋α/₂
Tablas de cuantiles
| Probabilidad | gl=5 | gl=10 | gl=20 |
|---|---|---|---|
| 0,01 | 0,55 | 2,56 | 8,26 |
| 0,05 | 1,15 | 3,94 | 10,85 |
| 0,10 | 1,61 | 4,87 | 12,44 |
| 0,50 | 4,35 | 9,34 | 19,34 |
| 0,90 | 9,24 | 15,99 | 28,41 |
| 0,95 | 11,07 | 18,31 | 31,41 |
| 0,99 | 15,09 | 23,21 | 37,57 |
Relación con otras distribuciones
Normal: La suma de k normales estándar al cuadrado es χ²(k)
Gamma: χ²(k) = Gamma(k/2, 2)
Distribución F: F = (χ₁²/gl₁) / (χ₂²/gl₂)
Exponencial: χ²(2) = Exponencial con tasa 1/2
Selección de grados de libertad
| Prueba | gl |
|---|---|
| Bondad de ajuste | categorías - 1 - parámetros estimados |
| Independencia (r×c) | (r-1)(c-1) |
| Prueba de varianza | n - 1 |
| Homogeneidad | (categorías - 1) × (grupos - 1) |
La Calculadora de grados de libertad ayuda a determinar gl.
Cálculos relacionados
- Calculadora de distribución chi-cuadrado — Cálculo directo
- Prueba chi-cuadrado de independencia — Usa χ² crítico
- Bondad de ajuste chi-cuadrado — Usa χ² crítico
- Calculadora de varianza — Varianza muestral
- Calculadora de grados de libertad — Calcular gl
Resumen
La calculadora inversa de chi-cuadrado convierte probabilidades acumulativas a valores χ² para cualquier grados de libertad. Esencial para encontrar valores críticos en pruebas chi-cuadrado, construir intervalos de confianza para varianza y establecer límites de gráficos de control, la función inversa complementa la CDF directa. La distribución chi-cuadrado siempre está sesgada a la derecha (más para gl pequeños), así que la mayoría de las pruebas usan valores críticos de cola superior, aunque los intervalos de varianza requieren ambas colas.