Calculadora de prueba de Kolmogorov-Smirnov

¿Qué es la prueba de Kolmogorov-Smirnov?

La prueba de Kolmogorov-Smirnov (K-S) es una prueba no paramétrica que compara distribuciones. Puede probar si una muestra proviene de una distribución teórica específica (prueba de una muestra) o si dos muestras provienen de la misma distribución (prueba de dos muestras). A diferencia de las pruebas que comparan parámetros específicos como medias, la prueba K-S es sensible a cualquier diferencia en forma de distribución, ubicación o dispersión.

La prueba lleva el nombre de los matemáticos rusos Andrey Kolmogorov y Nikolai Smirnov, quienes la desarrollaron en la década de 1930.

El estadístico K-S

El estadístico de prueba D mide la diferencia absoluta máxima entre funciones de distribución acumulada (CDF):

$D = \sup_x |F_n(x) - F(x)|$

Donde:

• $F_n(x)$ es la CDF empírica de la muestra
• $F(x)$ es la CDF teórica (una muestra) o la CDF empírica de la otra muestra (dos muestras)
• $\sup$ denota el supremo (máximo)

La CDF empírica es una función escalonada que aumenta en $1/n$ en cada punto de datos.

Prueba de una muestra

La prueba K-S de una muestra compara tus datos con una distribución teórica. Las aplicaciones comunes incluyen:

Prueba de normalidad

Antes de usar pruebas paramétricas que asumen normalidad, puedes usar la prueba K-S para verificar este supuesto. Sin embargo, la Prueba de Shapiro-Wilk es generalmente más potente para probar normalidad.

Bondad de ajuste

Cualquier distribución continua completamente especificada puede probarse: normal, exponencial, uniforme, etc. El requisito clave es que todos los parámetros deben especificarse por adelantado, no estimarse de los datos.

Importante: Si estimas parámetros (como media y desviación estándar) de tu muestra y luego pruebas contra esa distribución, los valores críticos estándar de K-S son demasiado conservadores. Usa la prueba de Lilliefors en su lugar para probar normalidad con parámetros estimados.

Prueba de dos muestras

La prueba K-S de dos muestras compara dos muestras independientes para determinar si provienen de la misma distribución. Esto es útil cuando:

• Quieres comparar grupos sin asumir una distribución específica
• Los tamaños de muestra son pequeños
• Los datos pueden ser no normales

El estadístico de prueba de dos muestras es:

$D_{n,m} = \sup_x |F_n(x) - G_m(x)|$

Donde $F_n$ y $G_m$ son las CDFs empíricas de las dos muestras.

Ventajas

Libre de distribución

La prueba K-S no hace supuestos sobre la distribución subyacente (para el caso de dos muestras). Esto la hace ampliamente aplicable.

Sensible a múltiples aspectos

A diferencia de las pruebas t que solo comparan medias, la prueba K-S detecta diferencias en:

• Ubicación (tendencia central)
• Escala (dispersión)
• Forma (asimetría, curtosis)

Distribución exacta conocida

La distribución nula del estadístico K-S es conocida exactamente, permitiendo cálculo preciso del valor p.

Limitaciones

Solo datos continuos

La prueba K-S está diseñada para distribuciones continuas. Para datos discretos, la prueba se vuelve conservadora (menos potente).

Sensibilidad a las colas

La prueba K-S es más sensible a diferencias cerca del centro de la distribución y menos sensible a diferencias en las colas. La prueba de Anderson-Darling aborda esto dando más peso a las diferencias en las colas.

Problema de estimación de parámetros

Usar parámetros estimados invalida los valores críticos estándar, como se mencionó anteriormente.

Aplicaciones prácticas

Control de calidad

Comparar mediciones de productos contra distribuciones de especificación para verificar procesos de manufactura.

Finanzas

Probar si los rendimientos de acciones siguen distribuciones asumidas como normal o log-normal.

Ciencias ambientales

Comparar mediciones de contaminación entre sitios o períodos de tiempo.

Pruebas A/B

Comparar distribuciones de respuesta completas, no solo medias, entre grupos de tratamiento y control.

Pruebas relacionadas

• Prueba de Shapiro-Wilk — Más potente para probar normalidad
• Bondad de ajuste chi-cuadrado — Para distribuciones discretas
• Prueba U de Mann-Whitney — Compara medianas/rangos
• Prueba de Levene — Compara específicamente varianzas

Resumen

La prueba de Kolmogorov-Smirnov es un método no paramétrico versátil para comparar distribuciones. Su capacidad para detectar cualquier diferencia distribucional la hace valiosa para análisis exploratorio y verificación de supuestos. Aunque no es la prueba más potente para alternativas específicas (como diferencias en medias), su generalidad y distribución nula exacta la convierten en una herramienta fundamental en el análisis estadístico.