Calculadora de tasa de Poisson

¿Qué es la estimación de tasas de Poisson?

Dados eventos observados, estimamos λ (lambda)—la tasa promedio verdadera. Esta calculadora proporciona la estimación de la tasa y su intervalo de confianza.

Estimación puntual: λ̂ = (eventos totales) / (exposición total)

Ejemplo: Si ocurrieron 15 eventos durante 5 períodos de tiempo: λ̂ = 15/5 = 3 eventos por período

Pero ¿qué tan precisa es esta estimación? El intervalo de confianza responde esto.

Intervalo de confianza para λ

Para el conteo observado X sobre exposición t:

Método exacto (Garwood):

Inferior: χ²(α/2, 2X) / (2t) Superior: χ²(1-α/2, 2(X+1)) / (2t)

Donde χ² es la función inversa de chi-cuadrado.

Aproximación normal (λ̂ grande):

IC = λ̂ ± z* × √(λ̂/t)

Para IC 95%: z* = 1,96

Ejemplos

Investigación médica

"En 1000 persona-años de seguimiento, ocurrieron 25 eventos. ¿Cuál es la tasa e IC 95%?"

λ̂ = 25/1000 = 0,025 por persona-año = 25 por 1000 persona-años IC 95%: aproximadamente 16 a 37 por 1000 persona-años

Control de calidad

"Durante 100 corridas de producción, se encontraron 340 defectos. Estima la tasa de defectos."

λ̂ = 340/100 = 3,4 defectos por corrida IC 95%: aproximadamente 3,0 a 3,8 defectos por corrida

Análisis de tráfico

"Ocurrieron 8 accidentes en una intersección durante 3 años. Estima la tasa anual."

λ̂ = 8/3 = 2,67 accidentes por año IC 95%: aproximadamente 1,2 a 5,3 accidentes por año

Analítica web

"Un servidor registró 450 errores en 30 días. Estima errores por día."

λ̂ = 450/30 = 15 errores por día IC 95%: aproximadamente 13,6 a 16,5 errores por día

Propiedades de la estimación puntual

La tasa muestral λ̂ = X/t es:

Insesgada: E(λ̂) = λ Consistente: λ̂ → λ cuando la exposición aumenta Máxima verosimilitud: λ̂ es el EMV para λ Eficiente: λ̂ logra varianza mínima entre estimadores insesgados

Varianza: Var(λ̂) = λ/t

Error estándar: EE(λ̂) = √(λ̂/t)

Diferentes escenarios de exposición

Período de observación único

X eventos en t unidades de tiempo: λ̂ = X/t

Múltiples períodos de observación

X₁ eventos en t₁, X₂ eventos en t₂, etc.: λ̂ = (X₁ + X₂ + ...) / (t₁ + t₂ + ...)

Exposición persona-tiempo

Común en epidemiología: λ̂ = (eventos totales) / (persona-años totales en riesgo)

Aplicaciones

Epidemiología

Las tasas de incidencia miden ocurrencia de enfermedad:

• Tasa de incidencia = (casos nuevos) / (persona-tiempo en riesgo)
• El IC 95% permite comparación entre poblaciones

Ingeniería de confiabilidad

Las tasas de falla cuantifican confiabilidad de componentes:

• Tasa de falla = (fallas) / (tiempo total de operación)
• Tiempo medio entre fallas = 1/λ

Mejora de procesos

Rastrear tasas de defectos a lo largo del tiempo:

• Tasa base vs. tasa post-intervención
• Los intervalos de confianza revelan si la mejora es significativa

Seguros

Las tasas de reclamaciones informan los precios:

• Reclamaciones por póliza-año
• Los intervalos de confianza consideran la incertidumbre muestral

Interpretación del intervalo de confianza

"λ̂ = 3,2 defectos por hora, IC 95%: [2,1, 4,6]"

Estamos 95% confiados de que la tasa verdadera cae entre 2,1 y 4,6 defectos por hora.

Si se compara con un objetivo (ej., 5 defectos/hora):

• Si 5 está por encima del límite superior del IC → la tasa está significativamente por debajo del objetivo
• Si 5 está dentro del IC → no se puede distinguir del objetivo

Comparando dos tasas

Para dos grupos con tasas λ₁ y λ₂:

Razón de tasas: RT = λ₁/λ₂

Intervalo de confianza para log(RT): EE(log(RT)) = √(1/X₁ + 1/X₂)

Si el IC para RT excluye 1, las tasas difieren significativamente.

Cuando se observan cero eventos

Si X = 0:

• Estimación puntual: λ̂ = 0
• Límite superior del IC 95%: 3/t (aproximadamente)
• Esta es la "Regla de tres"

Ejemplo: Sin fallas en 100 horas → límite superior del IC 95% ≈ 3/100 = 0,03 por hora

Supuestos y limitaciones

Tasa constante

El modelo de Poisson asume que λ no cambia con el tiempo. Si las tasas varían:

• Divide el análisis por período de tiempo
• Usa modelos más complejos (Poisson no homogéneo)

Eventos independientes

Los eventos deben ser independientes. El agrupamiento (eventos desencadenando otros eventos) viola esto.

Exposición conocida

El tiempo de exposición debe medirse con precisión. La incertidumbre en la exposición añade a la incertidumbre general.

Contexto histórico

Frank Garwood (1936) desarrolló el intervalo de confianza exacto para tasas de Poisson usando la relación con la distribución chi-cuadrado.

El método se convirtió en estándar en epidemiología e ingeniería de confiabilidad, donde la estimación de tasas es fundamental.

El software moderno calcula intervalos exactos rutinariamente, pero la relación con chi-cuadrado sigue siendo el fundamento.

Cálculos relacionados

• Calculadora de probabilidad de Poisson — P(X = k) dado λ
• Calculadora de distribución chi-cuadrado — Distribución subyacente
• Intervalo de confianza para la media — Concepto relacionado
• Calculadora de riesgo relativo — Comparaciones de tasas

Resumen

La estimación de tasas de Poisson convierte conteos de eventos observados en estimaciones de tasa con incertidumbre cuantificada por intervalos de confianza. La estimación puntual λ̂ = eventos/exposición es intuitiva, mientras que el intervalo de confianza (usando la relación chi-cuadrado o aproximación normal) revela la precisión. Desde tasas de incidencia epidemiológicas hasta tasas de falla de ingeniería hasta métricas de control de calidad, la estimación de tasas de Poisson es fundamental para entender frecuencias de eventos y hacer comparaciones entre grupos o períodos de tiempo.