Table U de Mann-Whitney

Valeurs critiques pour le test de Mann-Whitney.

Niveau de signification

Trouver n₁

Trouver n₂

Comment utiliser : Trouvez vos tailles d'échantillon n₁ et n₂ pour obtenir la valeur critique de U. Rejetez H₀ si votre U calculé ≤ U critique. Pour n₁ ou n₂ > 20, utilisez l'approximation normale à la place.

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
3	0	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8
4	0	0	1	2	3	4	4	5	6	7	8	9	10	11	11	12	13	14
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	17	18	19	20
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14	16	17	19	21	22	24	25	27
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22	24	26	29	31	34	36	38	41
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26	28	31	34	37	39	42	45	48
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29	33	36	39	42	45	48	52	55
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33	37	40	44	47	51	55	58	62
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37	41	45	49	53	57	61	65	69
13	4	8	12	16	20	24	28	33	37	41	45	50	54	59	63	67	72	76
14	5	9	13	17	22	26	31	36	40	45	50	55	59	64	69	74	78	83
15	5	10	14	19	24	29	34	39	44	49	54	59	64	70	75	80	85	90
16	6	11	15	21	26	31	37	42	47	53	59	64	70	75	81	86	92	98
17	6	11	17	22	28	34	39	45	51	57	63	69	75	81	87	93	99	105
18	7	12	18	24	30	36	42	48	55	61	67	74	80	86	93	99	106	112
19	7	13	19	25	32	38	45	52	58	65	72	78	85	92	99	106	113	119
20	8	14	20	27	34	41	48	55	62	69	76	83	90	98	105	112	119	127

Calcul de U

1. Classez toutes les observations combinées

2. Sommez les rangs pour chaque groupe (R₁, R₂)

3. Calculez U₁ et U₂ :

U₁ = n₁n₂ + n₁(n₁+1)/2 - R₁

U₂ = n₁n₂ - U₁

4. Utilisez U = min(U₁, U₂) pour le test

Approximation normale

Pour les échantillons plus grands (n > 20) :

μᵤ = n₁n₂/2

σᵤ = √[n₁n₂(n₁+n₂+1)/12]

z = (U - μᵤ)/σᵤ

Comparez |z| à 1,96 (α=0,05) ou 2,576 (α=0,01)

Statistique U de Mann-Whitney

U = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1

Qu'est-ce qu'une table U de Mann-Whitney ?

La table U de Mann-Whitney fournit des valeurs critiques pour le test U de Mann-Whitney (aussi appelé test de la somme des rangs de Wilcoxon). Ce test non paramétrique compare deux groupes indépendants lorsque les hypothèses du test t sont violées—particulièrement lorsque les données sont ordinales ou non normalement distribuées.

Quand utiliser le test U de Mann-Whitney

Choisir ce test lorsque :

Comparer deux groupes indépendants
Les données sont ordinales ou continues mais non normales
Les tailles d'échantillon sont petites (n < 30)
Des valeurs aberrantes sont présentes
Vous voulez tester les différences dans la distribution ou la médiane

C'est l'alternative non paramétrique au test t pour échantillons indépendants.

Comment fonctionne le test

Combiner toutes les observations des deux groupes
Classer de la plus petite (1) à la plus grande
Additionner les rangs pour chaque groupe (R₁, R₂)
Calculer U en utilisant :

$U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1$

$U_2 = n_1 n_2 - U_1$

$U = \min(U_1, U_2)$

Comment lire la table

Soit n₁ = taille d'échantillon plus petite, n₂ = taille d'échantillon plus grande
Trouver l'intersection de n₁ (ligne) et n₂ (colonne)
Cela donne la valeur U critique

Décision : Si votre U calculé ≤ U critique, rejeter H₀.

Exemple : Groupe A (n₁ = 8), Groupe B (n₂ = 12), α = 0,05 (bilatéral) :

U critique = 22
Si U calculé = 18, rejeter H₀ (les groupes diffèrent)

Exemple travaillé

Données :

Groupe A : 12, 15, 18, 20 (n₁ = 4)
Groupe B : 22, 25, 28, 30, 35 (n₂ = 5)

Étapes :

Rangs combinés : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Rangs du groupe A : 1, 2, 3, 4 → R₁ = 10
Rangs du groupe B : 5, 6, 7, 8, 9 → R₂ = 35
Calculer U :
- U₁ = (4)(5) + 4(5)/2 - 10 = 20 + 10 - 10 = 20
- U₂ = (4)(5) - 20 = 0
- U = min(20, 0) = 0
De la table à α = 0,05 : U critique = 1
Puisque 0 ≤ 1, rejeter H₀

Gestion des ex aequo

Lorsque des observations ont la même valeur :

Leur attribuer la moyenne des rangs qu'elles occuperaient
Continuer à classer normalement les valeurs suivantes
Envisager d'utiliser une correction pour ex aequo pour l'approximation normale

Approximation normale (grands échantillons)

Pour n₁ ou n₂ > 20, utiliser :

$\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2}$

$\sigma_U = \sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}}$

$z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U}$

Comparer z aux valeurs critiques normales standard (±1,96 pour α = 0,05, bilatéral).

Interprétation

Le test U de Mann-Whitney répond : « Si je choisis aléatoirement une observation de chaque groupe, quelle est la probabilité que l'observation du groupe 1 dépasse celle du groupe 2 ? »

La relation est :

$P(\text{Groupe 1} > \text{Groupe 2}) = \frac{U}{n_1 n_2}$

Taille d'effet

La corrélation rang-bisériale mesure la taille d'effet :

$r = 1 - \frac{2U}{n_1 n_2}$

Valeur r	Interprétation
0,1	Petit effet
0,3	Effet moyen
0,5	Grand effet

Comparaison avec le test t

Aspect	Test t	U de Mann-Whitney
Type de données	Intervalle/rapport	Ordinale ou mieux
Distribution	Normale	Toute
Teste pour	Différence de moyenne	Décalage de distribution
Puissance	Plus élevée si normale	Robuste aux violations

Outils connexes

Calculateur de test U de Mann-Whitney — Exécuter le test
Calculateur de test t à deux échantillons — Alternative paramétrique
Test de rangs signés de Wilcoxon — Pour données appariées
Test de Kruskal-Wallis — 3+ groupes

Résumé

La table U de Mann-Whitney permet le test d'hypothèse pour deux groupes indépendants sans supposer la normalité. En comparant votre statistique U calculée à la valeur critique, vous pouvez déterminer si deux groupes proviennent de distributions différentes. Pour les échantillons plus grands, l'approximation normale élimine le besoin de tables, mais pour les petits échantillons (n ≤ 20), les valeurs critiques exactes de cette table garantissent un contrôle précis de l'erreur de type I.

Table U de Mann-Whitney

Calcul de U

Approximation normale

Qu'est-ce qu'une table U de Mann-Whitney ?

Quand utiliser le test U de Mann-Whitney

Comment fonctionne le test

Comment lire la table

Exemple travaillé

Gestion des ex aequo

Approximation normale (grands échantillons)

Interprétation

Taille d'effet

Comparaison avec le test t

Outils connexes

Résumé

Outils connexes

Table Z (normale standard)

Table t (t de Student)

Table chi-carré

Table F

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
3	0	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8
4	0	0	1	2	3	4	4	5	6	7	8	9	10	11	11	12	13	14
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	17	18	19	20
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14	16	17	19	21	22	24	25	27
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22	24	26	29	31	34	36	38	41
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26	28	31	34	37	39	42	45	48
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29	33	36	39	42	45	48	52	55
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33	37	40	44	47	51	55	58	62
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37	41	45	49	53	57	61	65	69
13	4	8	12	16	20	24	28	33	37	41	45	50	54	59	63	67	72	76
14	5	9	13	17	22	26	31	36	40	45	50	55	59	64	69	74	78	83
15	5	10	14	19	24	29	34	39	44	49	54	59	64	70	75	80	85	90
16	6	11	15	21	26	31	37	42	47	53	59	64	70	75	81	86	92	98
17	6	11	17	22	28	34	39	45	51	57	63	69	75	81	87	93	99	105
18	7	12	18	24	30	36	42	48	55	61	67	74	80	86	93	99	106	112
19	7	13	19	25	32	38	45	52	58	65	72	78	85	92	99	106	113	119
20	8	14	20	27	34	41	48	55	62	69	76	83	90	98	105	112	119	127

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
3	0	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8
4	0	0	1	2	3	4	4	5	6	7	8	9	10	11	11	12	13	14
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	17	18	19	20
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14	16	17	19	21	22	24	25	27
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22	24	26	29	31	34	36	38	41
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26	28	31	34	37	39	42	45	48
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29	33	36	39	42	45	48	52	55
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33	37	40	44	47	51	55	58	62
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37	41	45	49	53	57	61	65	69
13	4	8	12	16	20	24	28	33	37	41	45	50	54	59	63	67	72	76
14	5	9	13	17	22	26	31	36	40	45	50	55	59	64	69	74	78	83
15	5	10	14	19	24	29	34	39	44	49	54	59	64	70	75	80	85	90
16	6	11	15	21	26	31	37	42	47	53	59	64	70	75	81	86	92	98
17	6	11	17	22	28	34	39	45	51	57	63	69	75	81	87	93	99	105
18	7	12	18	24	30	36	42	48	55	61	67	74	80	86	93	99	106	112
19	7	13	19	25	32	38	45	52	58	65	72	78	85	92	99	106	113	119
20	8	14	20	27	34	41	48	55	62	69	76	83	90	98	105	112	119	127

n₁ \ n₂	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
3	0	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7	7	8
4	0	0	1	2	3	4	4	5	6	7	8	9	10	11	11	12	13	14
5	0	1	2	3	5	6	7	8	9	11	12	13	14	15	17	18	19	20
6	1	2	3	5	6	8	10	11	13	14	16	17	19	21	22	24	25	27
7	1	3	5	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34
8	2	4	6	8	10	13	15	17	19	22	24	26	29	31	34	36	38	41
9	2	4	7	10	12	15	17	20	23	26	28	31	34	37	39	42	45	48
10	3	5	8	11	14	17	20	23	26	29	33	36	39	42	45	48	52	55
11	3	6	9	13	16	19	23	26	30	33	37	40	44	47	51	55	58	62
12	4	7	11	14	18	22	26	29	33	37	41	45	49	53	57	61	65	69
13	4	8	12	16	20	24	28	33	37	41	45	50	54	59	63	67	72	76
14	5	9	13	17	22	26	31	36	40	45	50	55	59	64	69	74	78	83
15	5	10	14	19	24	29	34	39	44	49	54	59	64	70	75	80	85	90
16	6	11	15	21	26	31	37	42	47	53	59	64	70	75	81	86	92	98
17	6	11	17	22	28	34	39	45	51	57	63	69	75	81	87	93	99	105
18	7	12	18	24	30	36	42	48	55	61	67	74	80	86	93	99	106	112
19	7	13	19	25	32	38	45	52	58	65	72	78	85	92	99	106	113	119
20	8	14	20	27	34	41	48	55	62	69	76	83	90	98	105	112	119	127