Calculadora de correlación punto-biserial

Usa la correlación punto-biserial cuando quieras medir qué tan fuertemente una agrupación de sí/no se relaciona con una medición numérica. Por ejemplo, ¿se relaciona el género con las puntuaciones de exámenes? ¿La membresía en el grupo de tratamiento predice el tiempo de recuperación? Esto te da un coeficiente de correlación que cuantifica la fuerza y dirección de la relación entre tu variable de dos categorías y tu variable continua.

¿Qué es la correlación punto-biserial?

La correlación punto-biserial ($r_{pb}$) mide la relación entre una variable binaria (dicotómica) y una variable continua.

Pregunta respondida: "¿Hay una relación entre la membresía de grupo y un resultado continuo?"

Rango: -1 a +1

• Positivo: Valores más altos asociados con el grupo codificado-1
• Negativo: Valores más altos asociados con el grupo codificado-0
• Cero: Sin relación

Cuándo usar

Escenarios comunes

• Masculino/femenino y puntuaciones de exámenes
• Tratamiento/control y presión arterial
• Aprobado/reprobado y horas de estudio
• Sí/no y mediciones continuas

Relación con otras pruebas

La correlación punto-biserial es matemáticamente equivalente a:

• Prueba t de muestras independientes (mismo valor p)
• Correlación de Pearson con variable binaria codificada 0/1

La fórmula

$r_{pb} = \frac{\bar{Y}_1 - \bar{Y}_0}{S_Y} \times \sqrt{\frac{n_1 n_0}{n^2}}$

Donde:

• $\bar{Y}_1$ = media de la variable continua para el grupo 1
• $\bar{Y}_0$ = media de la variable continua para el grupo 0
• $S_Y$ = desviación estándar de la variable continua (todos los datos)
• $n_1, n_0$ = tamaños de muestra para cada grupo
• $n$ = tamaño de muestra total

Fórmula equivalente

$r_{pb} = \frac{\bar{Y}_1 - \bar{Y}_0}{S_Y} \times \sqrt{p(1-p)}$

Donde p = proporción en el grupo 1.

Ejemplo de cálculo

Datos: Tratamiento (1) vs Control (0) y puntuaciones de reducción de dolor

Paso 1: Calcular medias de grupos

• $\bar{Y}_1 = (15+18+22+20)/4 = 18,75$
• $\bar{Y}_0 = (8+12+10+11)/4 = 10,25$

Paso 2: Calcular DE general

Todos los valores: 15, 18, 22, 20, 8, 12, 10, 11 Media = 14,5, DE = 4,96

Paso 3: Calcular correlación

$r_{pb} = \frac{18,75 - 10,25}{4,96} \times \sqrt{\frac{4 \times 4}{64}} = 1,71 \times 0,5 = 0,86$

Interpretación: Correlación positiva fuerte—el grupo de tratamiento tiene mucha mayor reducción de dolor.

Prueba de significancia

Enfoque de prueba t

$t = r_{pb} \sqrt{\frac{n-2}{1-r_{pb}^2}}$

Con gl = n - 2.

Relación con prueba t independiente

El valor p de punto-biserial es igual al valor p de la prueba t independiente sobre los mismos datos.

$t = \frac{\bar{Y}_1 - \bar{Y}_0}{EE_{\text{dif}}}$

Interpretación del tamaño del efecto

| |$r_{pb}$| | Interpretación | |------------|----------------| | 0,10 | Pequeño | | 0,30 | Mediano | | 0,50 | Grande |

Estos se alinean con las convenciones de Cohen para coeficientes de correlación.

Relación con la d de Cohen

$r_{pb} = \frac{d}{\sqrt{d^2 + 4}}$

Y conversamente:

$d = \frac{2r_{pb}}{\sqrt{1-r_{pb}^2}}$

Para nuestro ejemplo: $r_{pb} = 0,86$ → $d = 3,36$ (efecto muy grande)

Punto-biserial vs. correlación biserial

Usa punto-biserial para variables naturalmente dicotómicas.

Coeficiente de determinación

$r_{pb}^2 = \text{proporción de varianza explicada}$

Del ejemplo: $0,86^2 = 0,74$

La membresía de grupo explica 74% de la varianza en reducción de dolor.

Supuestos

Variable dicotómica

Una variable debe ser binaria (solo dos categorías).

Variable continua

La otra variable debe ser aproximadamente continua.

Normalidad

Para pruebas de significancia, la variable continua debe ser aproximadamente normal dentro de cada grupo.

Homogeneidad de varianza

Varianzas iguales en ambos grupos (para pruebas de significancia válidas).

Independencia

Las observaciones son independientes.

Aplicaciones

Análisis de ítems

Correlacionar puntuaciones de ítems (correcto/incorrecto) con puntuaciones totales de prueba para evaluar discriminación del ítem.

Investigación clínica

Relación entre grupo de tratamiento y resultados.

Psicología

Asociación entre categorías binarias (ej., diagnóstico) y medidas continuas.

Educación

Diferencias de género en rendimiento de exámenes.

Intervalo de confianza

Usa la transformación z de Fisher:

$z_r = 0,5 \ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)$

$EE_z = \frac{1}{\sqrt{n-3}}$

\text{IC 95% para } z_r = z_r \pm 1,96 \times EE_z

Transforma de vuelta a la escala de correlación.

Reportando resultados

Formato APA:

"Hubo una correlación punto-biserial positiva fuerte entre la condición de tratamiento y la reducción de dolor, $r_{pb}$ = ,86, IC 95% [,54, ,96], p < ,001."

Con tamaño del efecto:

"La correlación punto-biserial entre membresía de grupo (tratamiento vs. control) y puntuaciones de reducción de dolor fue $r_{pb}$ = ,86 (IC 95%: ,54-,96), indicando un efecto grande (d de Cohen = 3,36). El grupo de tratamiento (M = 18,75, DE = 2,99) mostró significativamente mayor reducción de dolor que el grupo de control (M = 10,25, DE = 1,71), t(6) = 4,72, p = ,003."

Errores comunes

Usar con variables politómicas

Punto-biserial requiere exactamente dos grupos. Para múltiples categorías, usa eta u otras medidas.

Ignorar tamaños de grupo desiguales

El $r_{pb}$ máximo posible disminuye con grupos desiguales. Con división 90/10, el máx |$r_{pb}$| ≈ 0,6.

Confundir con biserial

Punto-biserial es para variables naturalmente dicotómicas; biserial asume continuidad subyacente.

No verificar supuestos

La violación de normalidad u homogeneidad afecta las pruebas de significancia.

Valor máximo posible

Con tamaños de grupo desiguales:

$r_{pb,max} = \sqrt{p(1-p)} \times \frac{1}{\phi(z_p)}$

Donde p = proporción en el grupo más pequeño y φ es la densidad normal estándar.

Implicación: Con grupos muy desiguales, incluso separación perfecta da $r_{pb}$ < 1.

Relación con otras estadísticas

Con el estadístico F

$F = \frac{r_{pb}^2(n-2)}{1-r_{pb}^2}$

Con eta-cuadrado

Para dos grupos: $\eta^2 = r_{pb}^2$

Con omega-cuadrado

$\omega^2 = \frac{r_{pb}^2 - (1-r_{pb}^2)/(n-2)}{1 + (1-r_{pb}^2)/(n-2)}$

Contexto histórico

La correlación punto-biserial se ha usado desde principios del siglo XX, particularmente en medición educativa y psicológica. Se convirtió en estándar en análisis de ítems para pruebas, donde indica qué tan bien un ítem discrimina entre personas de alto y bajo rendimiento.

Cálculos relacionados

• Correlación de Pearson — Dos variables continuas
• Correlación de Spearman — Correlación basada en rangos
• Prueba t de dos muestras — Prueba de hipótesis equivalente
• Calculadora de d de Cohen — Tamaño del efecto relacionado

Resumen

La correlación punto-biserial mide la relación entre una variable binaria y una variable continua. Varía de -1 a +1 y es matemáticamente equivalente a la correlación de Pearson cuando la variable binaria está codificada 0/1. La prueba de significancia da el mismo valor p que una prueba t independiente. Usa guías de interpretación de 0,1/0,3/0,5 para efectos pequeños/medianos/grandes. Las aplicaciones incluyen análisis de ítems en pruebas, evaluación de efecto del tratamiento y estudios de comparación de grupos. Reporta la correlación, intervalo de confianza y valor p.