Calculadora de prueba Z de una proporción

¿Qué es una prueba Z de una proporción?

La prueba z de una proporción determina si una proporción muestral difiere significativamente de una proporción poblacional hipotética.

Pregunta respondida: "¿Es la proporción verdadera diferente de este valor específico?"

Ejemplos:

• "¿Es nuestra tasa de conversión diferente del estándar de la industria del 3%?"
• "¿Es la tasa de defectos inferior al umbral aceptable del 2%?"
• "¿Es la aprobación de votantes superior al 50%?"

Las hipótesis

Hipótesis nula (H₀): p = p₀ (la proporción poblacional es igual al valor hipotético)

Hipótesis alternativa (H₁):

• Bilateral: p ≠ p₀ (la proporción es diferente)
• Cola derecha: p > p₀ (la proporción es mayor)
• Cola izquierda: p < p₀ (la proporción es menor)

El estadístico de prueba

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

Donde:

• $\hat{p}$ = proporción muestral (x/n)
• $p_0$ = proporción hipotética
• $n$ = tamaño de muestra

El denominador es el error estándar bajo la hipótesis nula.

Ejemplo de cálculo

Escenario: Una empresa afirma que el 20% de los clientes vuelven a comprar. Observamos 85 recompras en 500 clientes. ¿Es esto diferente del 20%?

Datos:

• x = 85 recompras
• n = 500 clientes
• p̂ = 85/500 = 0,17
• p₀ = 0,20

Cálculo: EE = √[0,20 × 0,80 / 500] = √[0,00032] = 0,0179

z = (0,17 - 0,20) / 0,0179 = -1,68

Valor p: Para prueba bilateral, p = 0,093

Conclusión: La tasa de recompra (17%) no es significativamente diferente del 20% a α = 0,05 (p = 0,093).

Proporción muestral y conteo

La prueba puede formularse de dos maneras:

Forma de proporción: p̂ = x/n

Forma de conteo: Probar si x difiere de np₀

Ambas dan resultados idénticos. Usa la que sea más natural para tu problema.

Supuestos

Tamaño de muestra adecuado

Tanto np₀ como n(1-p₀) deben ser ≥ 10 (algunas fuentes dicen ≥ 5).

Esto asegura que la aproximación normal a la binomial sea válida.

Ejemplo: n = 100, p₀ = 0,05

• np₀ = 5 (límite)
• Considera la prueba binomial exacta en su lugar

Independencia

Cada observación es independiente. Un resultado no afecta a otro.

Muestreo aleatorio

La muestra representa la población de interés.

Muestra aleatoria simple

O al menos un diseño de muestreo que lo aproxime.

Cuándo usar la prueba binomial exacta

Usa la prueba z de una proporción cuando:

• n es grande (≥ 30)
• np₀ ≥ 10 y n(1-p₀) ≥ 10
• Una aproximación rápida es aceptable

Usa la prueba binomial cuando:

• La muestra es pequeña
• La proporción está cerca de 0 o 1
• Se requiere un valor p exacto

Corrección de continuidad

La prueba z aproxima una distribución discreta (binomial) con una continua (normal).

Z corregido: z = (|p̂ - p₀| - 1/(2n)) / √[p₀(1-p₀)/n]

Efecto: Hace la prueba ligeramente más conservadora (valores p más altos).

Visión moderna: Frecuentemente innecesario con tamaños de muestra adecuados.

Intervalo de confianza

Un cálculo relacionado es el intervalo de confianza para una proporción:

$IC = \hat{p} \pm z^* \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Si $p_0$ cae fuera del IC 95%, rechazarías $H_0$ a α = 0,05.

Aplicaciones

Control de calidad

¿Es la tasa de defectos igual o inferior al objetivo?

H₀: p = 0,02 (2% de tasa de defectos) Observado: 15 defectos en 600 artículos (2,5%)

Marketing

¿Es la tasa de conversión superior a la línea base?

H₀: p = 0,03 (3% de conversión) Observado: 45 conversiones en 1200 visitantes (3,75%)

Sondeos políticos

¿El candidato tiene apoyo mayoritario?

H₀: p = 0,50 (50% de apoyo) Observado: 525 partidarios en 1000 encuestados (52,5%)

Investigación médica

¿Es la tasa de éxito del tratamiento superior al estándar?

H₀: p = 0,70 (70% de éxito histórico) Observado: 82 éxitos en 100 pacientes (82%)

Pruebas A/B

¿Es la tasa de la nueva variante diferente del control?

Nota: Para comparar dos variantes, usa la prueba z de dos proporciones.

Pruebas unilaterales

Cola derecha (p > p₀): Probando si la proporción excede el umbral. "¿Es la tasa de éxito superior al 80%?"

Cola izquierda (p < p₀): Probando si la proporción está por debajo del umbral. "¿Es la tasa de defectos inferior al 1%?"

Valor p: Para unilateral, divide el valor p bilateral por 2 (en la dirección predicha).

Tamaño del efecto: h de Cohen

Para proporciones:

$h = 2 \arcsin(\sqrt{p_1}) - 2 \arcsin(\sqrt{p_2})$

Esta transformación estabiliza la varianza, haciendo h comparable a través de diferentes proporciones base.

Relación con chi-cuadrado

Para una proporción contra lo esperado:

z² = χ² (con gl = 1)

La prueba z de una proporción es equivalente a una prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado con dos categorías.

Errores comunes

Usar el error estándar incorrecto

La fórmula del EE usa p₀ (hipotética), no p̂ (observada).

Para intervalos de confianza, usa p̂. Para prueba de hipótesis, usa p₀.

Ignorar requisitos de tamaño de muestra

Si np₀ < 10, la aproximación normal es pobre. Usa la prueba binomial exacta.

Unilateral sin justificación

Las pruebas unilaterales requieren hipótesis direccional previa. No elijas después de ver los datos.

Interpretar no significancia como igualdad

p > 0,05 no prueba que p = p₀. Solo significa que no puedes descartar la igualdad.

Potencia y tamaño de muestra

Para planificar estudios:

n mínimo = [z₁₋α/₂ × √(p₀q₀) + z₁₋β × √(p₁q₁)]² / (p₁ - p₀)²

Usa la calculadora de tamaño de muestra para proporciones para planificación apropiada.

Reportando resultados

Formato APA:

"Una prueba z de una muestra para proporciones indicó que la tasa de recompra observada (17%, n = 500) no difirió significativamente del 20% hipotético, z = -1,68, p = ,093."

Incluir:

• Proporción muestral y n
• Valor hipotético
• Estadístico z
• Valor p
• Intervalo de confianza (opcional)

Contexto histórico

La prueba z de una proporción emergió del marco general de la teoría de grandes muestras desarrollada a finales del siglo XIX y principios del XX.

La prueba aplica el Teorema del Límite Central a proporciones: con n suficiente, las proporciones muestrales están aproximadamente normalmente distribuidas alrededor de la proporción verdadera.

Abraham de Moivre (1733) y Pierre-Simon Laplace (1812) establecieron los fundamentos teóricos. La formulación moderna se convirtió en estándar en la práctica estadística de mediados del siglo XX.

Cálculos relacionados

• Prueba Z de dos proporciones — Comparar dos proporciones
• Prueba binomial — Prueba exacta para proporciones
• Intervalo de confianza para proporción — Estimación de intervalo
• Tamaño de muestra para proporciones — Planificación de estudios
• Bondad de ajuste chi-cuadrado — Prueba equivalente

Resumen

La prueba z de una proporción determina si una proporción muestral difiere de un valor hipotético calculando z = (p̂ - p₀) / EE, donde EE usa la proporción de la hipótesis nula. La prueba requiere np₀ ≥ 10 y n(1-p₀) ≥ 10 para una aproximación normal válida; de lo contrario usa la prueba binomial exacta. Reporta la proporción muestral, valor hipotético, estadístico z y valor p. Para muestras pequeñas o proporciones extremas, la prueba binomial proporciona valores p exactos sin depender de la aproximación normal.