Calculadora de prueba Z de dos proporciones

¿Qué es una prueba z de dos proporciones?

La prueba z de dos proporciones determina si dos proporciones poblacionales difieren significativamente entre sí.

Pregunta respondida: "¿Estos dos grupos tienen diferentes tasas/proporciones?"

Ejemplos:

• "¿La tasa de conversión es diferente entre las variantes A y B del sitio web?"
• "¿Hombres y mujeres tienen diferentes preferencias de voto?"
• "¿La tasa de éxito es mayor para el nuevo tratamiento versus el estándar?"

Las hipótesis

Hipótesis nula (H₀): p₁ = p₂ (las proporciones son iguales)

Hipótesis alternativa (H₁):

• Bilateral: p₁ ≠ p₂ (las proporciones difieren)
• Cola derecha: p₁ > p₂ (la primera proporción es mayor)
• Cola izquierda: p₁ < p₂ (la primera proporción es menor)

El estadístico de prueba

$z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$

Donde:

• $\hat{p}_1 = x_1/n_1$ (proporción muestral 1)
• $\hat{p}_2 = x_2/n_2$ (proporción muestral 2)
• $\hat{p} = (x_1 + x_2)/(n_1 + n_2)$ (proporción combinada)

La proporción combinada asume que $H_0$ es verdadera (ambas poblaciones tienen la misma tasa).

Ejemplo de cálculo

Escenario: Prueba A/B comparando dos páginas de destino.

Datos:

• Página A: 45 conversiones en 1.200 visitantes (p̂₁ = 0,0375)
• Página B: 72 conversiones en 1.500 visitantes (p̂₂ = 0,0480)

Proporción combinada: p̂ = (45 + 72) / (1.200 + 1.500) = 117/2.700 = 0,0433

Error estándar: EE = √[0,0433 × 0,9567 × (1/1200 + 1/1500)] EE = √[0,0414 × 0,00150] = √0,0000621 = 0,00788

Estadístico de prueba: z = (0,0375 - 0,0480) / 0,00788 = -1,33

Valor p: Para prueba bilateral, p = 0,183

Conclusión: No hay diferencia significativa entre páginas (p > 0,05).

Error estándar combinado vs. no combinado

Combinado (para prueba de hipótesis)

Usa proporción combinada asumiendo que $H_0$ es verdadera:

$EE_{\text{combinado}} = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$

No combinado (para intervalos de confianza)

Usa proporciones muestrales separadas:

$EE_{\text{no combinado}} = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$

¿Por qué diferentes? La prueba de hipótesis asume proporciones iguales; el intervalo de confianza estima la diferencia real.

Intervalo de confianza para la diferencia

$IC = (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^* \times EE_{\text{no combinado}}$

Para IC 95% ($z^* = 1,96$):

$IC = (0,0375 - 0,0480) \pm 1,96 \times EE_{\text{no combinado}} = -0,0105 \pm 0,0154 = (-0,0259; 0,0049)$

El intervalo incluye 0, consistente con resultado de prueba no significativo.

Supuestos

Independencia

• Las observaciones dentro de cada grupo son independientes
• Los grupos son independientes entre sí
• Ningún sujeto aparece en ambos grupos

Tamaño de muestra adecuado

Ambos grupos deben tener:

• n₁p̂₁ ≥ 10 y n₁(1-p̂₁) ≥ 10
• n₂p̂₂ ≥ 10 y n₂(1-p̂₂) ≥ 10

Si se viola: Usa la Prueba exacta de Fisher.

Muestreo aleatorio

Las muestras representan sus poblaciones respectivas.

Aplicaciones

Pruebas A/B

El caso de uso clásico: comparar tasas de conversión entre variantes.

• Versiones de sitio web
• Líneas de asunto de correo
• Creativos publicitarios
• Estrategias de precios

Ensayos clínicos

Comparar tasas de éxito de tratamiento.

• Fármaco vs. placebo
• Nuevo tratamiento vs. estándar
• Diferentes dosis

Investigación de mercado

Comparar preferencias o comportamientos entre segmentos.

• Conocimiento de marca por demográfico
• Intención de compra por grupo de exposición

Control de calidad

Comparar tasas de defectos entre:

• Líneas de producción
• Turnos
• Proveedores
• Períodos de tiempo

Ciencias sociales

Comparar proporciones entre poblaciones.

• Patrones de voto por demográfico
• Respuestas de encuesta por grupo

Unilateral vs. bilateral

Bilateral (por defecto): Prueba cualquier diferencia entre proporciones. "¿Las tasas son diferentes?"

Unilateral: Prueba diferencia en dirección específica. "¿El nuevo tratamiento es mejor (no solo diferente)?"

Unilateral requiere justificación previa. No elegir después de ver resultados.

Tamaño del efecto: h de Cohen

$h = 2 \arcsin(\sqrt{p_1}) - 2 \arcsin(\sqrt{p_2})$

O usando la diferencia directamente:

Diferencia de riesgo = $p_1 - p_2$ (diferencia absoluta)

Riesgo relativo = $p_1/p_2$ (razón)

Relación con chi-cuadrado

Para tablas 2×2:

z² = χ² (con gl = 1)

La prueba z de dos proporciones es matemáticamente equivalente a la prueba chi-cuadrado de independencia para tablas 2×2.

Ventaja de la prueba z: Proporciona información direccional (z positivo o negativo).

Errores comunes

Comparar proporciones dependientes

Si los mismos sujetos se miden dos veces (antes/después), usa la prueba de McNemar, no la prueba z de dos proporciones.

Usar EE no combinado para prueba de hipótesis

El EE combinado asume que H₀ es verdadera, lo cual es apropiado para prueba de hipótesis.

Ignorar requisitos de tamaño de muestra

Con muestras pequeñas o proporciones extremas, usa la Prueba exacta de Fisher.

Comparaciones múltiples

Probar muchas variantes infla la tasa de falsos positivos. Usa ajustes (Bonferroni) o procedimientos de control.

Reportando resultados

Formato APA:

"Una prueba z de dos proporciones no indicó diferencia significativa en tasas de conversión entre la Página A (3,75%, n = 1.200) y la Página B (4,80%, n = 1.500), z = -1,33, p = ,183, IC 95% para diferencia [-2,59%; 0,49%]."

Incluye:

• Ambas proporciones muestrales y tamaños
• Estadístico z
• Valor p
• Intervalo de confianza para diferencia

Planificación de tamaño de muestra

Para potencia adecuada, usa:

n por grupo = 2 × [z₁₋α/₂ × √(2p̄q̄) + z₁₋β × √(p₁q₁ + p₂q₂)]² / (p₁ - p₂)²

Usa la calculadora de tamaño de muestra para prueba A/B para planificación.

Corrección de continuidad

Para mejor aproximación con muestras más pequeñas:

z = (|p̂₁ - p̂₂| - 1/2 × (1/n₁ + 1/n₂)) / EE

Hace la prueba ligeramente más conservadora.

Medidas relacionadas

Diferencia de riesgo (absoluta)

DR = p₁ - p₂

"El tratamiento aumenta el éxito en 5 puntos porcentuales."

Riesgo relativo

RR = p₁/p₂

"Los pacientes tratados tienen 1,5 veces más probabilidad de éxito."

Razón de momios

OR = [p₁/(1-p₁)] / [p₂/(1-p₂)]

"Los momios de éxito son 2,3 veces mayores con tratamiento."

Contexto histórico

La prueba z de dos proporciones se desarrolló junto con el marco más amplio de teoría de muestras grandes a finales del siglo XIX y principios del XX.

La prueba aplica el Teorema del Límite Central: las proporciones muestrales son aproximadamente normales para n grande, así que su diferencia también es aproximadamente normal.

Con la computación moderna, la prueba z aproximada frecuentemente se reemplaza por métodos exactos (Fisher) para muestras pequeñas, pero sigue siendo el estándar para inferencia de muestras grandes sobre proporciones.

Extensiones

Análisis estratificado

Cuando se comparan proporciones a través de estratos (ej., grupos de edad), usa métodos de Mantel-Haenszel o estratificados.

Múltiples grupos

Para comparar proporciones a través de 3+ grupos, usa la prueba chi-cuadrado de independencia.

Pruebas secuenciales

En pruebas A/B continuas, usa métodos de análisis secuencial para controlar tasas de error con múltiples miradas a los datos.

Cálculos relacionados

• Prueba z de una proporción — Proporción única vs. valor
• Prueba chi-cuadrado de independencia — Asociación categórica
• Prueba exacta de Fisher — Muestras pequeñas
• Intervalo de confianza para diferencia en proporciones — Estimación de intervalo
• Tamaño de muestra para prueba A/B — Planificación
• Calculadora de riesgo relativo — Tamaño del efecto

Resumen

La prueba z de dos proporciones determina si las proporciones difieren entre dos grupos independientes calculando z = (p̂₁ - p̂₂) / EE, usando error estándar combinado que asume proporciones iguales bajo H₀. La prueba requiere tamaños de muestra adecuados (np ≥ 10 para éxitos y fracasos en ambos grupos); de lo contrario usa la Prueba exacta de Fisher. Reporta ambas proporciones, estadístico z, valor p e intervalo de confianza para la diferencia. La prueba es matemáticamente equivalente a chi-cuadrado para tablas 2×2 pero proporciona información direccional a través del signo de z.