Calculadora de prueba chi-cuadrado

¿Qué es la prueba chi-cuadrado de independencia?

La prueba chi-cuadrado de independencia determina si dos variables categóricas están asociadas o son independientes.

Pregunta respondida: "¿Hay una relación entre estas dos variables categóricas?"

Ejemplos:

• "¿La preferencia de voto está relacionada con el género?"
• "¿El resultado del tratamiento está asociado con el tipo de tratamiento?"
• "¿La preferencia de producto está relacionada con el grupo de edad?"

Independencia vs. asociación

Variables independientes: Conocer una no te dice nada sobre la otra.

Variables asociadas: Conocer una cambia tu predicción de la otra.

Ejemplo: Si el 60% de los hombres prefieren el Producto A y el 60% de las mujeres también prefieren el Producto A, género y preferencia son independientes. Si el 70% de los hombres pero solo el 40% de las mujeres prefieren el Producto A, están asociados.

La tabla de contingencia

Los datos se organizan en una tabla de doble entrada:

Frecuencias observadas: Lo que realmente contamos. Frecuencias esperadas: Lo que esperaríamos si las variables fueran independientes.

Calculando frecuencias esperadas

$E = \frac{\text{Total fila} \times \text{Total columna}}{\text{Total general}}$

Para la celda (Grupo 1, Resultado A):

$E = \frac{50 \times 45}{100} = 22,5$

Si fueran independientes, ambos grupos tendrían las mismas proporciones (45% A, 55% B).

El estadístico chi-cuadrado

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

Suma sobre todas las celdas.

$\chi^2 = 9,09$

Grados de libertad

$gl = (f - 1) \times (c - 1)$

Donde $f$ = filas, $c$ = columnas.

Para tabla 2×2: $gl = 1 \times 1 = 1$

Para tabla 3×4: $gl = 2 \times 3 = 6$

Encontrando el valor p

Compara χ² con la distribución chi-cuadrado con los gl apropiados.

Para χ² = 9,09, gl = 1: p = 0,0026

Conclusión: Asociación significativa entre grupo y resultado (p < 0,01).

Tamaño del efecto: V de Cramér

Chi-cuadrado aumenta con el tamaño de muestra. Para tamaño del efecto interpretable:

$V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \times \min(f-1, c-1)}}$

Para 2×2: V = √(9,09 / 100) = 0,30

gl es el menor de (f-1) o (c-1)

La corrección de continuidad (Yates)

Para tablas 2×2 con frecuencias esperadas pequeñas:

$\chi^2 = \sum \frac{(|O - E| - 0,5)^2}{E}$

Reduce chi-cuadrado ligeramente, haciendo la prueba más conservadora.

Usar cuando: Cualquier frecuencia esperada está entre 5 y 10.

Recomendación moderna: A menudo innecesaria con tamaños de muestra adecuados.

Supuestos y requisitos

Frecuencias esperadas

Regla tradicional: Todos los valores esperados ≥ 5.

Guía moderna:

• Ninguna frecuencia esperada < 1
• No más del 20% de celdas con esperado < 5

Si se viola: Usa la prueba exacta de Fisher.

Independencia de observaciones

Cada observación pertenece exactamente a una celda. Ningún sujeto aparece en múltiples celdas.

Muestreo aleatorio

Los datos representan una muestra aleatoria de la población de interés.

Tablas 2×2: Fórmula directa

Para el diseño estándar 2×2:

$\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Equivalente a la fórmula general pero computacionalmente más simple.

Tablas más grandes

Para tablas f×c mayores que 2×2, la prueba indica si existe asociación en alguna parte de la tabla.

Resultado significativo: Al menos una celda desvía de la independencia.

Próximos pasos: Examina residuos estandarizados para identificar qué celdas desvían más.

Residuos estandarizados

$\frac{O - E}{\sqrt{E}}$

Valores > 2 o < -2 indican celdas que más contribuyen a la asociación.

Aplicaciones

Investigación médica

Respuesta al tratamiento por grupo de tratamiento. Incidencia de enfermedad por categoría de exposición.

Ciencias sociales

Afiliación política por variables demográficas. Respuestas de encuestas por características del encuestado.

Marketing

Decisiones de compra por segmentos de clientes. Preferencia de marca por región geográfica.

Control de calidad

Tipos de defectos por línea de producción. Aprobado/reprobado por turno u operador.

Genética

Frecuencias de alelos entre poblaciones. Asociaciones de fenotipos.

Conceptos erróneos comunes

Chi-cuadrado muestra causalidad

Falso. Muestra asociación, no causalidad. Otras variables pueden explicar la relación.

χ² grande significa asociación fuerte

Parcialmente cierto. χ² depende del tamaño de muestra. Usa V de Cramér para tamaño del efecto.

Siempre usar chi-cuadrado para datos categóricos

Falso. Para datos pareados/emparejados, usa la prueba de McNemar. Para categorías ordenadas, considera métodos ordinales.

Chi-cuadrado vs. otras pruebas

Prueba exacta de Fisher

Usar cuando las frecuencias esperadas son demasiado pequeñas para chi-cuadrado.

Prueba Z para proporciones

Para comparar dos proporciones directamente. Equivalente a chi-cuadrado para tablas 2×2.

Prueba G (razón de verosimilitud)

Propiedades similares a chi-cuadrado. Algunos la prefieren por razones teóricas.

Prueba de McNemar

Para datos categóricos pareados (antes-después en los mismos sujetos).

Reportando resultados

Formato APA:

"Una prueba chi-cuadrado de independencia reveló una asociación significativa entre la pertenencia al grupo y el resultado, χ²(1) = 9,09, p = ,003, V = ,30. El Grupo 1 era más propenso a mostrar Resultado A (60%) comparado con el Grupo 2 (30%)."

Incluir:

• Valor chi-cuadrado y gl
• Valor p
• Tamaño del efecto (V de Cramér)
• Porcentajes o conteos descriptivos

Contexto histórico

Karl Pearson desarrolló la prueba chi-cuadrado en 1900, haciéndola una de las pruebas de hipótesis formales más antiguas aún en uso común.

Pearson estaba motivado por la necesidad de comparar frecuencias observadas con expectativas teóricas—inicialmente para probar si los dados eran justos o si los patrones de herencia seguían proporciones predichas.

La distribución chi-cuadrado en sí había sido descrita antes, pero Pearson estableció su aplicación a tablas de contingencia y pruebas de bondad de ajuste.

Cálculos relacionados

• Chi-cuadrado de bondad de ajuste — Una variable
• Prueba exacta de Fisher — Muestras pequeñas
• Prueba Z de dos proporciones — Comparar proporciones
• Distribución chi-cuadrado — Valores p
• Calculadora de razón de odds — Tamaño del efecto 2×2

Resumen

La prueba chi-cuadrado de independencia evalúa si dos variables categóricas están asociadas comparando frecuencias observadas con las esperadas bajo independencia. Calcula valores esperados como (total fila × total columna) / total general, computa χ² = Σ(O-E)²/E, y compara con la distribución chi-cuadrado con (f-1)(c-1) grados de libertad. Los supuestos requieren frecuencias esperadas adecuadas (≥5 en la mayoría de celdas). Reporta chi-cuadrado, gl, valor p y V de Cramér para tamaño del efecto. Para tablas 2×2 con valores esperados pequeños, usa la prueba exacta de Fisher en su lugar.