Calculadora del coeficiente phi

Usa el coeficiente phi cuando tengas una tabla de contingencia 2×2 y quieras medir la fuerza de asociación entre dos variables binarias. Es equivalente al coeficiente de correlación de Pearson calculado sobre dos variables dicotómicas.

¿Qué es el coeficiente phi?

El coeficiente phi (φ) mide la asociación entre dos variables binarias. Varía de -1 a +1:

• φ = 1: Asociación positiva perfecta
• φ = 0: Sin asociación
• φ = -1: Asociación negativa perfecta

Para una tabla 2×2:

$\phi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}$

Relación con chi-cuadrado

Phi está directamente relacionado con el estadístico chi-cuadrado:

$\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}$

O equivalentemente:

$\chi^2 = n \times \phi^2$

Esto significa que puedes convertir entre phi y chi-cuadrado fácilmente.

Ejemplo de cálculo

Datos: Tratamiento vs. Recuperación

• a = 45, b = 15, c = 25, d = 35
• n = 120

$\phi = \frac{(45)(35) - (15)(25)}{\sqrt{(60)(60)(70)(50)}}$ $\phi = \frac{1575 - 375}{\sqrt{12.600.000}}$ $\phi = \frac{1200}{3550} = 0,338$

Interpretación: Asociación positiva moderada entre tratamiento y recuperación.

Interpretando valores de phi

| |φ| | Interpretación | |-----|----------------| | 0,00 - 0,10 | Insignificante | | 0,10 - 0,20 | Débil | | 0,20 - 0,40 | Moderada | | 0,40 - 0,60 | Relativamente fuerte | | 0,60 - 0,80 | Fuerte | | 0,80 - 1,00 | Muy fuerte |

Estas guías son aproximadas; el contexto importa.

Phi vs. otras medidas

Para tablas 2×2, φ = V (la V de Cramér es igual a phi).

Signo de phi

A diferencia de la V de Cramér, phi puede ser negativo:

• φ positivo: Las variables tienden a tener la misma categoría (ambas 1 o ambas 0)
• φ negativo: Las variables tienden a tener categorías opuestas (una 1, una 0)

El signo depende de cómo codifiques las variables.

Intervalo de confianza para phi

Para muestras grandes, el error estándar de phi es aproximadamente:

$EE(\phi) \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$

Intervalo de confianza del 95%:

$\phi \pm 1,96 \times \frac{1}{\sqrt{n}}$

Para el ejemplo anterior: $0,338 \pm 1,96 \times \frac{1}{\sqrt{120}} = 0,338 \pm 0,179 = [0,159, 0,517]$

Probando significancia

Para probar si φ ≠ 0:

1. Calcular chi-cuadrado: $\chi^2 = n \times \phi^2$
2. Comparar con la distribución chi-cuadrado con gl = 1
3. O usar el valor p de una prueba chi-cuadrado

Para el ejemplo: $\chi^2 = 120 \times 0,338^2 = 13,7$

Con gl = 1, p < 0,001, así que la asociación es estadísticamente significativa.

Aplicaciones

Investigación médica

Asociación entre:

• Tratamiento y resultado
• Factor de riesgo y enfermedad
• Dos pruebas diagnósticas

Psicología

Asociación entre:

• Género y respuesta
• Condición y comportamiento
• Dos ítems binarios de encuesta

Educación

Asociación entre:

• Método de enseñanza y aprobado/reprobado
• Intervención y graduación

Marketing

Asociación entre:

• Exposición a publicidad y compra
• Segmento y conversión

Phi como correlación de Pearson

Cuando ambas variables están codificadas 0/1, phi es igual a la correlación de Pearson:

$\phi = r_{XY}$

Esto es porque:

• La correlación de Pearson funciona con cualquier dato numérico
• Las variables binarias 0/1 son numéricas
• La fórmula de phi es algebraicamente equivalente a la r de Pearson para este caso

Máximo posible de phi

Phi solo puede alcanzar ±1 si las distribuciones marginales son idénticas. Si los marginales difieren, el |φ| máximo es menor que 1.

Phi máximo dados los marginales:

$\phi_{max} = \sqrt{\frac{\min(p_1, p_2) \times \min(q_1, q_2)}{\max(p_1, p_2) \times \max(q_1, q_2)}}$

Donde $p_1, q_1$ y $p_2, q_2$ son las proporciones en cada fila/columna.

Phi vs. correlación tetracórica

Si las variables binarias son variables continuas dicotomizadas que en realidad están normalmente distribuidas, la correlación tetracórica estima cuál habría sido la correlación de Pearson. Phi subestima esta correlación subyacente.

Usa tetracórica cuando:

• Las variables son verdaderamente continuas pero medidas como binarias
• Quieres estimar la correlación latente

Usa phi cuando:

• Las variables son genuinamente dicotómicas
• Quieres la asociación observada

Supuestos

1. Dos variables binarias: Cada variable tiene exactamente dos categorías
2. Observaciones independientes: Cada observación es independiente
3. Muestreo aleatorio: Los datos provienen de muestreo aleatorio

No se requieren supuestos distribucionales.

Contexto histórico

El coeficiente phi fue desarrollado por Karl Pearson a principios de los 1900 como parte de su trabajo sobre correlación. Extendió la correlación producto-momento a datos binarios.

La relación con chi-cuadrado fue reconocida tempranamente, haciendo de phi una medida natural de tamaño del efecto para tablas 2×2.

Cálculos relacionados

• Calculadora de V de Cramér — Para tablas más grandes
• Prueba chi-cuadrado — Prueba de significancia
• Calculadora de razón de momios — Medida de efecto alternativa
• Correlación de Pearson — Para variables continuas
• Correlación punto-biserial — Binaria vs. continua

Resumen

El coeficiente phi mide la asociación entre dos variables binarias en una tabla 2×2. Varía de -1 a +1, con el signo indicando dirección. Phi es igual a la correlación de Pearson para variables codificadas 0/1 y está relacionado con chi-cuadrado por φ = √(χ²/n). Usa phi para tamaños de efecto simples e interpretables en tablas 2×2; usa la V de Cramér para tablas más grandes o cuando necesites una medida no direccional.