Calculadora de regresión logística

¿Qué es la regresión logística?

La regresión logística modela la probabilidad de un resultado binario (sí/no, éxito/fracaso, 1/0) basándose en una o más variables predictoras. En lugar de predecir un valor continuo, predice la probabilidad de pertenecer a una categoría.

Pregunta respondida: "¿Qué factores afectan la probabilidad de que ocurra este resultado?"

Ejemplos:

• "¿Qué factores predicen si un cliente abandonará?"
• "¿Cómo afectan las características del paciente la probabilidad de enfermedad?"
• "¿Qué predice si un solicitante de préstamo incumplirá?"

¿Por qué no regresión lineal?

Problema con la regresión lineal para resultados binarios:

La regresión lineal puede predecir valores por debajo de 0 o por encima de 1—imposible para probabilidades.

Solución: La regresión logística usa la función logística para restringir las predicciones a (0, 1).

La función logística

$P(Y = 1) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$

Donde $z = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots$

Esta curva en forma de S mapea cualquier número real a una probabilidad entre 0 y 1.

La transformación logit

Reordenando:

$\log\left(\frac{P}{1-P}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots$

El lado izquierdo es el log odds (logit) del resultado.

El lado derecho es lineal en los predictores.

Interpretando coeficientes

La interpretación de coeficientes difiere de la regresión lineal:

$\beta_1$ = cambio en log odds por unidad de aumento en $X_1$

Más intuitivamente, convierte a razón de momios:

$OR = e^{\beta}$

Ejemplo: Si β₁ = 0,7 para un predictor:

• OR = e^0,7 = 2,01
• Cada aumento de unidad en X₁ duplica los momios del resultado

Ejemplo: Abandono de clientes

Datos: 1.000 clientes con estado de abandono (1 = abandonó, 0 = retenido)

Predictores: Cargos mensuales, duración del contrato, antigüedad (meses)

Resultado:

Interpretaciones:

• Cada aumento de $1 en cargos mensuales: 3% de aumento en momios de abandono
• Contrato de dos años vs. mensual: 84% de reducción en momios de abandono
• Cada mes adicional de antigüedad: 4% de reducción en momios de abandono

Razones de momios (OR)

Intervalo de confianza para OR: Si el IC incluye 1, el efecto no es estadísticamente significativo.

Predicción

Probabilidad predicha

1. Calcular z = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ...
2. Aplicar función logística: P = 1 / (1 + e^(-z))

Ejemplo: Para un cliente con:

• Cargos mensuales = $80
• Contrato de dos años
• Antigüedad = 24 meses

z = -1,24 + 0,031(80) - 1,85(1) - 0,045(24) = -1,69 P(abandono) = 1 / (1 + e^1,69) = 0,16 (16% de probabilidad)

Clasificación

Aplica un umbral (típicamente 0,5):

• Si P ≥ 0,5, predice Y = 1
• Si P < 0,5, predice Y = 0

El umbral puede ajustarse según los costos de falsos positivos vs. falsos negativos.

Evaluación del modelo

Prueba de razón de verosimilitud (modelo general)

Compara el modelo ajustado con el modelo nulo (solo intercepto).

H₀: Todos los β = 0 H₁: Al menos un β ≠ 0

Estadístico chi-cuadrado con gl = número de predictores.

Medidas de pseudo R²

A diferencia de la regresión lineal, la regresión logística no tiene un R² verdadero.

R² de McFadden: $1 - (\log L_{\text{completo}} / \log L_{\text{nulo}})$

R² de Nagelkerke: Versión ajustada que puede alcanzar 1

La interpretación difiere del R² lineal—valores por encima de 0,2 frecuentemente se consideran aceptables.

Prueba de Hosmer-Lemeshow

Prueba si las probabilidades observadas y predichas coinciden.

Un valor p no significativo sugiere buen ajuste.

Métricas de clasificación

Usa ROC-AUC para evaluación independiente del umbral.

Supuestos

Resultado binario

La variable dependiente es binaria (o puede tratarse como tal).

Independencia

Las observaciones son independientes.

Sin multicolinealidad perfecta

Los predictores no están perfectamente correlacionados.

Linealidad en el logit

La relación entre predictores y log odds es lineal.

Verificar: Gráficos de componente + residuos

Tamaño de muestra grande

Guía general: al menos 10-20 eventos por predictor.

Con resultados raros, necesitas muestras más grandes.

Predictores categóricos

Usa variables dummy, igual que en regresión múltiple:

Variable de tres categorías → dos variables dummy

La categoría de referencia se codifica como 0 en todas las dummies.

Efectos de interacción

Interacción X₁ × X₂:

log(P/(1-P)) = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃(X₁ × X₂)

El efecto de X₁ depende del valor de X₂.

Estimación por máxima verosimilitud

A diferencia de la regresión lineal (mínimos cuadrados), la regresión logística usa máxima verosimilitud:

Encuentra coeficientes que maximizan la probabilidad de observar los datos reales.

No hay solución de forma cerrada—algoritmos iterativos (Newton-Raphson) encuentran el óptimo.

Problemas comunes

Separación completa

Cuando un predictor predice perfectamente el resultado:

• Todos los casos con X > umbral tienen Y = 1
• El coeficiente va a infinito

Soluciones: Verosimilitud penalizada de Firth, regresión logística exacta

Clases desbalanceadas

Cuando un resultado es raro (p.ej., 1% de fraude):

• El modelo puede predecir la clase mayoritaria para todo
• La exactitud es engañosa

Soluciones: Pesos de clase, sobremuestreo de clase minoritaria, umbral diferente

Tamaño de muestra

Con muchos predictores o resultados raros, la estimación se vuelve inestable.

Regla general: 10+ eventos por variable predictora.

Extensiones

Regresión logística multinomial

El resultado tiene 3+ categorías no ordenadas.

Ejemplo: Afiliación política (Demócrata, Republicano, Independiente)

Regresión logística ordinal

El resultado tiene categorías ordenadas.

Ejemplo: Severidad de enfermedad (leve, moderada, severa)

Regresión logística condicional

Para estudios de casos y controles emparejados.

Reportando resultados

Formato estándar:

"Se realizó regresión logística para examinar factores asociados con el abandono de clientes. El modelo fue estadísticamente significativo, χ²(3) = 245,8, p < ,001, R² de Nagelkerke = ,31.

Los cargos mensuales (OR = 1,03, IC 95% [1,02, 1,04], p < ,001), contrato de dos años (OR = 0,16, IC 95% [0,10, 0,25], p < ,001), y antigüedad (OR = 0,96, IC 95% [0,94, 0,97], p < ,001) fueron predictores significativos."

Contexto histórico

David Cox formalizó la regresión logística en 1958, aunque la función logística había sido estudiada anteriormente.

El método se volvió práctico con el poder computacional en los años 1960-70 y ahora es fundamental en epidemiología, marketing, aprendizaje automático y cualquier campo que prediga resultados binarios.

La interpretación de razón de momios conecta la regresión logística con el diseño de estudios de casos y controles común en epidemiología.

Cálculos relacionados

• Calculadora ROC-AUC — Evaluación de modelo
• Calculadora de razón de momios — Medida de efecto
• Regresión múltiple — Resultados continuos
• Prueba chi-cuadrado — Asociaciones categóricas

Resumen

La regresión logística modela la probabilidad de un resultado binario usando la función logística, asegurando que las predicciones se mantengan entre 0 y 1. Los coeficientes representan cambios en log odds; exponencia para obtener razones de momios para interpretación. Evalúa el modelo general con la prueba de razón de verosimilitud, evalúa la clasificación con métricas de matriz de confusión y ROC-AUC. Los supuestos incluyen independencia, linealidad en logit y tamaño de muestra adecuado (10+ eventos por predictor). Reporta razones de momios con intervalos de confianza y pruebas de significancia para interpretación práctica.