Tabla chi-cuadrado

¿Qué es una tabla chi-cuadrado?

Una tabla chi-cuadrado (χ²) muestra valores críticos para la distribución chi-cuadrado. Esta distribución sesgada y de cola derecha se usa en pruebas de hipótesis que involucran datos categóricos y análisis de varianza.

La distribución chi-cuadrado surge cuando sumas variables aleatorias normales estándar al cuadrado. Con k grados de libertad:

$\chi^2_k = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2$

Cuándo usar pruebas chi-cuadrado

La distribución chi-cuadrado se usa para:

• Pruebas de bondad de ajuste — ¿Los datos observados ajustan una distribución esperada?
• Pruebas de independencia — ¿Están relacionadas dos variables categóricas?
• Pruebas de homogeneidad — ¿Tienen diferentes poblaciones la misma distribución?
• Pruebas de varianza — ¿La varianza poblacional iguala un valor hipotético?

Cómo leer la tabla chi-cuadrado

La tabla muestra valores críticos para la probabilidad de cola derecha. Cada fila corresponde a un valor de grados de libertad, y cada columna a un nivel de significancia (área a la derecha).

Para encontrar χ² para una prueba de bondad de ajuste con 5 categorías a α = 0,05:

1. Calcula gl = k - 1 = 4
2. Encuentra la fila gl = 4
3. Encuentra la columna α = 0,05
4. El valor crítico es χ² = 9,488

Rechaza H₀ si tu estadístico de prueba excede este valor crítico.

Grados de libertad

Aplicaciones comunes

Prueba chi-cuadrado de independencia

Prueba si dos variables categóricas están asociadas:

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

Donde O = frecuencia observada, E = frecuencia esperada.

Ejemplo: Probar si la preferencia de voto es independiente del género usando una tabla de contingencia 2×3:

• gl = (2 - 1)(3 - 1) = 2
• A α = 0,05, χ² crítico = 5,991

Prueba de bondad de ajuste

Prueba si las frecuencias observadas coinciden con las probabilidades esperadas:

Ejemplo: ¿Los lanzamientos de un dado son justos? (6 categorías)

• gl = 6 - 1 = 5
• A α = 0,05, χ² crítico = 11,070

Intervalos de confianza para varianza

Para construir un IC para la varianza poblacional σ²:

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}$

Propiedades clave

• Siempre positiva: Los valores χ² son ≥ 0
• Sesgada a la derecha: Especialmente para gl pequeños
• Se aproxima a normal: Cuando gl → ∞, chi-cuadrado se vuelve aproximadamente normal
• Media = gl: El valor esperado iguala los grados de libertad
• Varianza = 2×gl: La varianza es el doble de los grados de libertad

Valores críticos comunes

Para referencia rápida a α = 0,05:

Herramientas relacionadas

• Calculadora de prueba chi-cuadrado — Prueba de independencia
• Chi-cuadrado de bondad de ajuste — Probar distribuciones
• Calculadora de distribución chi-cuadrado — Encontrar probabilidades
• Prueba exacta de Fisher — Para muestras pequeñas

Resumen

La tabla chi-cuadrado es esencial para analizar datos categóricos y probar hipótesis de varianza. A diferencia de las distribuciones simétricas, chi-cuadrado está sesgada a la derecha, con el valor crítico representando el punto más allá del cual solo una proporción α de la distribución se encuentra. Entender cómo leer esta tabla correctamente—haciendo coincidir grados de libertad y nivel de significancia—es fundamental para pruebas de bondad de ajuste, pruebas de independencia y análisis de varianza.